Шаг 1.
Выясняем резонансные частоты.
Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
, полученным из уравнения Кирхгофа введением обозначений:
,
. Для выяснения резонансной частоты возьмем вынуждающую силу, изменяющуюся по закону косинуса.
.
Решение данного уравнения, согласно теории д.у., имеет вид:
, где первое слагаемое - решение с.о.у. (оно затухает и нас не интересует), а второе - произвольное частное решение, которое ищется в указанном виде (в силу особенностей взятой вынуждающей силы). Подставим решение
в уравнение и (с помощью, например, векторной диаграммы) получим
.
Зная, что
и
. Получаем для амплитуды тока и напряжений следующие выражения:
и
.
Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте
, а у тока при
.
Шаг 2.
Что такое добротность
Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое
. За это время система совершила
колебаний, где
- собственная частота колебаний системы (следует из решения д.у.). Так вот, величина
называется
добротностью контура.
Шаг 3.
Накладываем ограничения
Решая это неравенство получаем:
, отсюда
Шаг 4. Находим добротность
Вообще говоря,
и
Таким образом, отличие истинного решения от полученного примерно 0.03.
Ответ:
P.S. Что касается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверное, можно найти результат более точно, но это потребует лишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.