S=ab*sin a=ab*sin в
Площадь <span>параллелограмма
</span>
Пусть данный угол АОВ.
Можно построить два угла, симметричных с углом АОВ:
ВОС и AOD.
Проведем ОК и ОН - биссектрисы этих углов.
∠ВОС = ∠AOD как вертикальные.
∠АОВ + ∠ВОС = 180° по свойству смежных углов.
∠АОВ + 2∠ВОК = 180°, а так как ∠ВОК = ∠АОН:
∠АОВ + ∠ВОК + ∠АОН = 180°, но это и есть угол между биссектрисами двух углов, смежных с углом АОВ.
То есть биссектрисы образуют развернутый угол.
1) Меньшая диагональ основания находится по формуле косинусов:
с² = а² + в² - 2*а*в*cos a
для ромба с = √(2а²-2а²*cos a) = а√(2-2cos a).
Высота <span>параллелепипеда равна Н = с *</span> tg в = а*tg в *√(2-2cos a).
Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна:
Sбок =Ро * Н = 4а * а * tg в * √(2-2cos a) = 4а² * tg в * √(2-2cos a).
Номеров заданий не видно, поэтому:
1) КО/ОА=tgА=tg45°=1. Отсюда КО=ОАtgA=3*1=3
КО/МК=sinM=sin60°=√3/2. Отсюда МК=КО/sinM=3/(√3/2)=2√3 (ответ 2)
2) По теореме Пифагора (из ΔМТР) МТ²+РТ²=МР². Отсюда МР=√(МТ²+РТ²)=√(4²+8²)=√(16+64)=√80=4√5
tgP=MT/TP=4/8=1/2 (из ΔМТР)
tgP=MК/МP (из ΔКМР). Отсюда МК=МРtgР=4√5*(1/2)=2√5
По теореме Пифагора (из ΔМТК) МТ²+ТК²=МК². Отсюда КТ=√(МК²-МТ²)=√((2√5)²-4²)=√(20-16)=√4=2
3) По теореме синусов (для ΔАВQ) АВ²=AQ²+BQ²-2AQ*BQcosQ. Отсюда cosQ=(AQ²+BQ²-АВ²)/(2AQ*BQ)=(6²+5²-5²)/(2*6*5)=36/60=0,6
По теореме синусов (для ΔPRQ) PR²=PQ²+RQ²-2PQ*RQcosQ. Отсюда PR=√(PQ²+RQ²-2PQ*RQcosQ)=√((4+6)²+(7+5)²-2(4+6)(7+5)*0,6)=√(100+144-144)=√100=10
Периметр четырёхугольника АВRP равен:
АВ+BR+RP+PA=5+7+10+4=26