Неделя, конечно, это довольно много, но думаю, что с котом ничего не случится, при соблюдении нескольких условий.
Оставляете несколько мисок с кормом, несколько мисок с водой. При этом, миски с водой, не должны быть очень мелкими, чтобы вода быстро не высохла.
Закрываете все лишние помещения, потому что, кот, со скуки, может много чего натворить.
Закрываете окна, не оставляя открытых форточек. Убираете горшки с цветами. Ставите два-три лишних лотка.
Думаю, что все будет нормально.
Мне приходилось оставлять кошку одну в квартире на 5 дней. Ничего особенного не произошло.
Можно еще, оставить ключи от квартиры друзьям или соседям, которым, Вы доверяете, чтобы они приходили кормить животное, но если таковых не имеется, то примерно так, как я описала выше.