Question

Решить уравнение при всех значениях параметра a: ax^2+4x+a=0 желательно с решением, просто хочу понять как делается

Answer 1

Ax^2+4x+a=0
решаем это уравнение для всех значений параметра a.
1) при a=0
уравнение превращается в линейное
4x=0
x=0
2) для остальных a
D=4^2-4*a*a=16-4a^2=4(4-a^2)
если D=0 => уравнение имеет 2 совпадающих корня:
$4(4-a^2)=0 \\a^2=4 \\a=\pm 2 \\x=\frac{-4}{2*a}=\frac{-2}{a}$

при a=2 => x=-2/2=-1
при a=-2 => x=-2/(-2)=1
если D>0 => уравнение имеет 2 различных корня
$4(4-a^2)>0 \\4-a^2 >0 \\a^2 < 4 \\|a| <2 \\a \in (-2;2) \\x_1=\frac{-4+\sqrt{4(4-a^2)}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{4-a^2}}{a} \\x_2=\frac{-2-\sqrt{4-a^2}}{a}$

если D<0 уравнение не имеет действительных корней
$4(4-a^2)<0 \\a^2>4 \\|a|>2 \\x \in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty)$
Ответ:
при a=0 => x=0
при a=2 => x=-1
при a=-2 => x=1
при
$a \in (-2;0)\cup (0;2) \Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{4-a^2}}{a}$

при
$a \in (-\infty;-2)\cup (2;+\infty) \Rightarrow x\in \varnothing$