Все зависит от причины прописки. В любом случае нужен паспорт и заполненные корешки (листки)прибытия и убытия. Если Вы из России, зайдите на портал Госуслуги, там есть правильная форма заполнения этих документов. Если Вы прописываетесь у своих родственников или знакомых, идите в паспортный стол вместе с хозяином или хозяйкой дома или квартиры, они дают согласие и пишут заявление на право прописки, т.е. разрешение. Если Вы прописываетесь в купленном доме или квартире, нужны документы, подтверждающие право на жилье. Сдаете оформленные документы с паспортом в ОУФМС (паспортный или паспортисту), и через 10 дней приходите за ним обратно . Там будет печать о прописке.
В МВД или как сейчас проще в МФЦ для прописки или регистрации собственник должен прийти сам и предоставить все документы на жилье , будь то дом или квартира .
Еще возможно дать кому нибудь нотариальную доверенность и он За вас сходит - доверенность стоит 1200 рублей - мне проще уж самому прийти , а 1200 пропить .
После смены власти в 1991-1992 годах декларировалось, что прописка, действовавшая в СССР, будет заменена на понятие регистрации по месту жительства. Принципиальная разница между этими понятиями -- именно та, которую вы назвали: прописка является средством ограничить возможность смены места жительства, а регистрация -- это лишь уведомление гражданином государства о том, что в данный момент он живет в данном месте.
В реальности же власть не захотела отказываться от такой меры воздействия на население, как прописка. И прописка, называемая на словах регистрацией, осталась именно пропиской. С "проверками регистрациями" сотрудниками правоохранительных органов, с многочисленными бюрократическими препятствиями, чинимыми гражданину, который решил переехать. По-прежнему, чтобы сменить место жительства, нужно выпрашивать у власти на это позволения, и она этого позволения вправе не дать. Да что говорить, если у нас в стране понятие "нелегальный мигрант" вполне может относиться не к иностранцу, а к гражданину России.
Так что это, как говорится, не баг, а фича.
Уведомлять ни тех ни других Вы не обязаны. Но, разумеется, можете это сделать. Нужно ли - исходите из здравого смысла... к примеру, в налоговой лично я завел кабинет в интернете и, соответственно, никак не привязан к адресу местонахождения - все налоги можно и отследить в интернете и оплатить там же. Первоначальный пароль для интернет-кабинета Вы можете получить в любой налоговой инспекции РФ. Что касается пенсионного - если Вы получаете пенсию, сходить туда на новом месте стоит, если не получаете - все отчисления как шли, так и будут идти на счет, никак не привязанный к местожительству.
Нет, прописка - это внутренне дело страны проживания. И России не касается ни коим образом, где Вы прописаны в Белоруссии или Украине. Точно также и в других странах не интересуются Вашей пропиской в России.