Решить дифференциальное уравнение xy' + y(ln(y/x) - 1) = 0 y' + (y/x)(ln(y/x) - 1) =0 y' = (y/x)(1 - ln(y/x)) Получили однородное дифференциальное уравнение так как функция (y/x)(1-ln(y/x)) однородная нулевого порядка или если подставить вместо х и у kx и ky то получим (ky/kx)(1 - ln(ky/kx)) =(k^0)*(y/x)(1 - ln(y/x))
Положим y = ux или u = y/x, y' = xu'+ u Подставим в исходное уравнение xu'+ u = u(1 - ln(u)) xu' = u - uln(u) - u xu' = uln(u) Получили уравнение с разделяющимися переменными u'/(uln(u)) = 1/x du/(uln(u)) = dx/x Интегрируем обе части уравнения ln(ln(u)) =ln(x) + ln(C) ln(u) = Cx u = e^(Cx) Находим общее решение исходного уравнения у = xu = xe^(Cx) Ответ: у = xe^(Cx)