Question

Решить уравнение 2(lg2-1)+lg(+1)≤lg(+5)

Answer 1

ОДЗ
х≥0

$2(lg2-1)+lg( 5^{ \sqrt{x} } +1) \leq lg( 5^{1- \sqrt{x} } +5) \\ \\ 2(lg2-lg10)+lg( 5^{ \sqrt{x} } +1) \leq lg( 5^{1- \sqrt{x} } +5) \\ \\ 2(lg \frac{2}{10} )+lg( 5^{ \sqrt{x} } +1) \leq lg( 5^{1- \sqrt{x} } +5)$

$lg (\frac{1}{5})^2+lg( 5^{ \sqrt{x} } +1) \leq lg( 5^{1- \sqrt{x} } +5) \\ \\lg (\frac{1}{5})^2\cdot( 5^{ \sqrt{x} } +1) \leq lg( 5^{1- \sqrt{x} } +5) \\ \\ \frac{5^{ \sqrt{x} } +1}{25} \leq 5^{1- \sqrt{x} } +5$

$5^{ \sqrt{x} } +1 \leq (5^{1- \sqrt{x} } +5})\cdot 25 \\ \\ 5^{ \sqrt{x} } +1 \leq125\cdot 5^{- \sqrt{x} } +125 \\ \\ (5^{ \sqrt{x} })^{2} -124\cdot 5^{ \sqrt{x} } -125 \leq 0$
Замена переменной
$5^{ \sqrt{x} }=t \\ \\ (5^{ \sqrt{x} })^2=t^2$

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то t >0

t² - 124 t - 125 ≤ 0    (*)


D = (-124)²-4·(-125)=4·(4·31²+125)=4·(3844+125)=4·3969=(2·63)²=126²

t₁=(124-126)/2=-1      или      t₂=(124+126)/2=125
Решение неравенства (*)  
-1≤ t≤125

Но с учетом условия t >0, получим ответ

0 < t ≤ 125
t > 0   при любом х из ОДЗ :   х≥0

$5^{ \sqrt{x} } \leq 125 \\ \\ 5^{ \sqrt{x} } \leq 5^3 \\ \\ \sqrt{x} \leq 3 \\ 0 \leq x \leq 9$