Согласно второму закону Ньютона для системы из N частиц:
<span><span><span><span>d<span>p→</span></span><span>dt</span></span>=<span>F→</span>,</span>{\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},}</span>
где <span><span>p→</span>{\displaystyle {\vec {p}}}</span> импульс системы
<span><span><span>p→</span>=<span>∑<span>n=1</span>N</span><span><span>p→</span>n</span>,</span>{\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n},}</span>
а <span><span>F→</span>{\displaystyle {\vec {F}}}</span> — равнодействующая всех сил, действующих на частицы системы
<span><span><span>F→</span>=<span>∑<span>k=1</span>N</span> <span><span>F→</span>k<span>ext</span></span>+<span>∑<span>n=1</span>N</span><span>∑<span>m=1</span>N</span> <span><span>F→</span><span>n,m</span></span>,m≠n,(1)</span>{\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}+\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\ {\vec {F}}_{n,m},\qquad m\neq n,\qquad \qquad (1)}</span>
Здесь <span><span><span><span>F→</span><span>n,m</span></span>=</span>{\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}=}</span> — равнодействующая сил, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой, а <span><span><span>F→</span>k<span>ext</span></span>{\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}}</span> — равнодействующая всех внешних сил, действующих k-ю частицу. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида <span><span><span>F→</span><span>n,m</span></span>{\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}}</span> и <span><span><span>F→</span><span>m,n</span></span>{\displaystyle {\vec {F}}_{m,n}}</span> будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть <span><span><span><span>F→</span><span>n,m</span></span>=−<span><span>F→</span><span>m,n</span></span>.</span>{\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}=-{\vec {F}}_{m,n}.}</span>. Поэтому вторая сумма в правой части выражения (1) будет равна нулю, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:
<span><span><span><span>d<span>p→</span></span><span>dt</span></span>=<span>∑<span>k=1</span>N</span> <span><span>F→</span>k<span>ext</span></span>(2).</span>{\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}\qquad \qquad (2).}</span>
Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона.
Для систем из N частиц, в которых сумма всех внешних сил равна нулю
<span><span><span>∑<span>k=1</span>N</span> <span><span>F→</span>k<span>ext</span></span>=0,</span>{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,}</span>
или для систем, на частицы которых не действуют внешние силы <span><span><span><span>F→</span>k<span>ext</span></span>=0,</span>{\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,}</span> (для всех k от 1 до n), имеем
<span><span><span>d<span>dt</span></span><span>∑<span>n=1</span>N</span><span><span>p→</span>n</span>=0.</span>{\displaystyle \qquad {\frac {d}{dt}}\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=0.}</span>
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
<span><span><span><span>∑<span>n=1</span>N</span><span><span>p→</span>n</span>=<span><span>const</span>→</span></span>{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}\qquad }</span> (постоянный вектор).</span>
То есть суммарный импульс системы из N частиц, где N любое целое число, есть величина постоянная. При N=1 получаем выражение для одной частицы. Таким образом, следует вывод[1]:
<span>Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.
</span>