Пусть a рационально, b иррационально, c рационально.
Предположим что:
![a+b=c](https://tex.z-dn.net/?f=a%2Bb%3Dc)
Следовательно:
![b=c-a](https://tex.z-dn.net/?f=b%3Dc-a)
- т.е. иррациональное число равно разности двух рациональных чисел. А мы знаем что такое совершенно невозможно!Так как разность двух рациональных чисел, всегда рационально.Но b иррационально!
Поэтому наше предположение не верно, и сумма рационального и иррационального числа = иррациональному числу.
Ч.Т.Д.
![a-b=c](https://tex.z-dn.net/?f=a-b%3Dc)
![b=a-c](https://tex.z-dn.net/?f=b%3Da-c)
Опять же, ситуация как и в первом примере. Следовательно это невозможно и разность рационального и иррационального = всегда иррациональному.
Ч.Т.Д.