Question

Докажите что при n >=5 справедливо неравенство 2^(n) >=n^(2) +n +2( n = натуральное число

Answer 1

Можно по индукции. При n=5 это верно 2^5=5^2+5+2=32
Предположим, что 2^(n) >=n^(2) +n +2, тогда домножив обе части на 2, получаем, 2^(n+1)>=2n^2+2n+4. Но
2n^2+2n+4>=n^2+3n+4, т.к. оно равносильно n^2>=n, что верно для всех натуральных n. Итак,
2^(n+1)>=n^2+3n+4=(n+1)^2+(n+1)+2, т.е. неравенство выполняется и при n+1.