Question

Исследуйте функцию по следующей схеме и постройте график. Функция: f(x)=x^2+6x-9/x+4
1. Область определения. Обозначается: D(f)=
2. Четность, нечетность.
* Если f(-x)=f(x), то функция называется четной. График симметричен относительно оси ОУ.
* Если f(-x)=-f(x), то функция называется нечетной. График симметричен относительно начала координат.
* Если f(-x)не равно +-f(x), то функция называется ни четной, ни нечетной.
3. Точки пересечения с осями координат: а) С осью ОХ (у==0); б)с осью ОУ (х=0),
4. Промежутки возрастания и убывания функции. Точки экстремума. f' (x)=0/
5. Промежутки вогнутости и выпуклости. Точки перегиба. f'' (x)=0.
6. Асимптоты.
а) вертикальные асимптоты; Если x=t точка разрыва функции и limf(x) = бесконечности, то x=t вертикальная асимптота.
б) наклонная асимптота; y=kx+b
k=lim x-> бесконечность f(x)/x
b=lim х-> бесконечность (f(x)-kx)
7. Таблица
8. График
9. Область значений. Обозначается: E(f)=

Answer 1

Дано:  Y(x) = (x²+6*x-9)/(x+4)

Исследование:

Рисунок с графиком в приложении.

1. Область определения: D(y)= X≠ -4 , X∈(-∞;-4)∪(-4+∞);  Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2. Разрыв при Х = -4. Вертикальных асимптота  - Х = -4 - зелёная.

3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= -∞, Y(+∞)= +∞  -  горизонтальной асимптоты - нет.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Решаем квадратное уравнение в числителе.

x² + 6*x - 9 = 0. D= 72,  X1 = 1.24, X2 = - 7.24 - нули функции.

. 5. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-7,24)∪(-4;1,24)

Положительна: Y>0 -  X∈(-7,24;-∞)∪(1,24;+∞;)

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.

Функция ни чётная: Y(-x) ≠ Y(x), ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x)

7. Поиск экстремумов по первой производной.  

$y'(x)=\frac{2x+6}{x-4}-\frac{x^2+6x-9}{(x-4)^2}=0$

Корней нет. Экстремумов - нет.

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - X∈(-∞;-4)∪(-4+∞) - везде где существует.

9. Поиск перегибов по второй производной.

$Y"(x)=\frac{2}{x-4}-\frac{2*(2-x)}{(x-4)^2}+\frac{2*(x^2+6x-9)}{(x-4)^3}=0$

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = -4.  

10. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-4), выпуклая - "горка"  X∈(-4;+∞);

11. Наклонная асимптота.

k = lim(+∞) Y(х)/x = (x²+6*x-9)/(x² - 4*x) = 1 -разделили и числитель и знаменатель на х².

b = lim(+∞) Y(x) - x = [x²+6x-9 - (x²- 4x)]/(x-4) = (10*x- 5)/(x-4)  (??? = 2).

12. Область значений. E(y) = (-∞;+∞).