Если пренебречь сопротивлением воздуха и считать снаряд материальной точкой, то задача о движении снаряда, выпущенного из пушки под углом α к горизонту с начальной скоростью v, сводится к известной задаче о движении тела, брошенного под углом к горизонту.
Наложим на систему декартовы координаты, совместив их начало с пушкой и рассмотрим снаряд как материальную точку, участвующую одновременно в двух движениях - по оси х и оси y.
Тогда в некий момент времени t можно записать следующие уравнения для скорости точки:
![\displaystyle v_x=v\cos\alpha \\ v_y=v\sin\alpha-gt](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+v_x%3Dv%5Ccos%5Calpha+%5C%5C+v_y%3Dv%5Csin%5Calpha-gt)
Уравнение перемещения точки по осям будет иметь вид
![\displaystyle x=vt\cos\alpha \\ y=vt\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+x%3Dvt%5Ccos%5Calpha+%5C%5C+y%3Dvt%5Csin%5Calpha-%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D)
В любой точке М квадрат расстояния r² от начала координат до этой точки может быть найден по теореме Пифагора. Мы ищем квадрат, чтобы не заморачиваться извлечением квадратного корня, поскольку сама величина r нам не нужна.
![\displaystyle L_M=r_M^2=x_M^2+y_M^2=(vt\cos\alpha)^2+\left(vt\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}\right)^2](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+L_M%3Dr_M%5E2%3Dx_M%5E2%2By_M%5E2%3D%28vt%5Ccos%5Calpha%29%5E2%2B%5Cleft%28vt%5Csin%5Calpha-%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E2)
Чтобы определить области убывания функции L(t), нужно найти значения t при которых производная L'(t) будет отрицательной.
Упростим L(t), раскрыв скобки и используя основное тригонометрическое тождество, а затем найдем производную.
![\displaystyle L(t)=t^2v^2-vt^3g\sin\alpha+\frac{1}{4}g^2t^4 \\ \frac{dL}{dt}=2tv^2-3vt^2g\sin\alpha+g^2t^3=t(2v^2-3vtg\sin\alpha+g^2t^2)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+L%28t%29%3Dt%5E2v%5E2-vt%5E3g%5Csin%5Calpha%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dg%5E2t%5E4+%5C%5C+%5Cfrac%7BdL%7D%7Bdt%7D%3D2tv%5E2-3vt%5E2g%5Csin%5Calpha%2Bg%5E2t%5E3%3Dt%282v%5E2-3vtg%5Csin%5Calpha%2Bg%5E2t%5E2%29+)
Осталось решить неравенство
![\displaystyle 2v^2-3vtg\sin\alpha+g^2t^2\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+2v%5E2-3vtg%5Csin%5Calpha%2Bg%5E2t%5E2%5C+%5Ctextless+%5C+0)
Сначала определим точки, где левая часть обращается в ноль, а потом найдем необходимые интервалы. Получается квадратное уравнение относительно t; его решение тривиально и приводить я его не буду.
Получаем два корня,которые можно записать одним выражением:
![\displaystyle \frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha\pm\sqrt{1-9\cos^2 \alpha}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7Bv%7D%7B2g%7D%5Cleft%283%5Csin%5Calpha%5Cpm%5Csqrt%7B1-9%5Ccos%5E2+%5Calpha%7D%5Cright%29+)
Отсюда мы получаем область допустимых значений sin(α) ∈ [2√2/3;1] - значение 1 берем из условия, что углы больше 90° не рассматриваются.
С некоторым приближением можно записать α ∈ [70.53°;90°]
Первый (меньший) корень задает нам точку, начиная с которой расстояние между пушкой и снарядом начинает сокращаться.
![t_1=\displaystyle \frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha-\sqrt{1-9\cos^2 \alpha}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=t_1%3D%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7Bv%7D%7B2g%7D%5Cleft%283%5Csin%5Calpha-%5Csqrt%7B1-9%5Ccos%5E2+%5Calpha%7D%5Cright%29)
Второй (больший) корень задает точку, после прохождения которой расстояние снова начинает увеличиваться.
![t_2=\displaystyle \frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha+\sqrt{1-9\cos^2 \alpha}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=t_2%3D%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7Bv%7D%7B2g%7D%5Cleft%283%5Csin%5Calpha%2B%5Csqrt%7B1-9%5Ccos%5E2+%5Calpha%7D%5Cright%29)
Но для t₂ необходимо учесть, что наши формулы рассматривают процесс движения тела до бесконечности, а в реальности снаряд может падать ниже уровня пушки лишь разве что в овраг... Поэтому достаточно ограничиться временем движения снаряда при достижении им горизонта пушки, т.е. у=0 в нашей системе координат.
Для этого находим решение уравнения у=0
![\displaystyle vt\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}=0 \\ t\left(v\sin\alpha-\frac{gt}{2}\right)=0 \to t_1=0 \\ v\sin\alpha-\frac{gt_2}{2}=0 \to t_2= \frac{2v\sin\alpha}{g}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+vt%5Csin%5Calpha-%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D%3D0+%5C%5C+t%5Cleft%28v%5Csin%5Calpha-%5Cfrac%7Bgt%7D%7B2%7D%5Cright%29%3D0+%5Cto+t_1%3D0+%5C%5C+v%5Csin%5Calpha-%5Cfrac%7Bgt_2%7D%7B2%7D%3D0+%5Cto+t_2%3D+%5Cfrac%7B2v%5Csin%5Calpha%7D%7Bg%7D+)
Тривиальное решение t₁=0 нас не интересует, а вот t₂ - то, что нужно.
Окончательно получаем решение
![\displaystyle t \in \left[t_1;\min\left(t_2,\frac{2v\sin\alpha}{g}\right)\right], \\ t_1=\frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha-\sqrt{1-9\cos^2 \alpha}\right) \\ \\ t_2=\frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha+\sqrt{1-9\cos^2 \alpha}\right) \\ \\ \alpha \in [70.53^\circ;90^\circ]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+t+%5Cin+%5Cleft%5Bt_1%3B%5Cmin%5Cleft%28t_2%2C%5Cfrac%7B2v%5Csin%5Calpha%7D%7Bg%7D%5Cright%29%5Cright%5D%2C+%5C%5C%0At_1%3D%5Cfrac%7Bv%7D%7B2g%7D%5Cleft%283%5Csin%5Calpha-%5Csqrt%7B1-9%5Ccos%5E2+%5Calpha%7D%5Cright%29+%5C%5C+%5C%5C%0At_2%3D%5Cfrac%7Bv%7D%7B2g%7D%5Cleft%283%5Csin%5Calpha%2B%5Csqrt%7B1-9%5Ccos%5E2+%5Calpha%7D%5Cright%29+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Calpha+%5Cin+%5B70.53%5E%5Ccirc%3B90%5E%5Ccirc%5D)
Если интересует длительность промежутка времени, в который приближение происходит, она равна
![\displaystyle \min\left(t_2,\frac{2v\sin\alpha}{g}\right)\right]-t_1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Cmin%5Cleft%28t_2%2C%5Cfrac%7B2v%5Csin%5Calpha%7D%7Bg%7D%5Cright%29%5Cright%5D-t_1)
Если минимум равен t₂, получаем решение
![\displaystyle \frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha+\sqrt{1-9\cos^2 \alpha}\right)- \frac{v}{2g}\left(3\sin\alpha-\sqrt{1-9\cos^2 \alpha}\right)= \\ \\ \frac{v}{g}\cdot\sqrt{1-9\cos^2 \alpha}, \ \alpha \in [70.53^\circ;90^\circ]](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7Bv%7D%7B2g%7D%5Cleft%283%5Csin%5Calpha%2B%5Csqrt%7B1-9%5Ccos%5E2+%5Calpha%7D%5Cright%29-+%5Cfrac%7Bv%7D%7B2g%7D%5Cleft%283%5Csin%5Calpha-%5Csqrt%7B1-9%5Ccos%5E2+%5Calpha%7D%5Cright%29%3D+%5C%5C++%5C%5C+%5Cfrac%7Bv%7D%7Bg%7D%5Ccdot%5Csqrt%7B1-9%5Ccos%5E2+%5Calpha%7D%2C+%5C+%5Calpha+%5Cin+%5B70.53%5E%5Ccirc%3B90%5E%5Ccirc%5D)