Question

Над поверхностью земли в неподвижном состоянии удерживают массивную плиту, на горизонтальной поверхности которой лежит небольшой шарик.

Внезапно плиту начинают двигать вертикально вниз с постоянной скоростью U=4 м/с. Определите расстояние между шариком и плитой через t=19с после начала движения. Ответ выразите в см, округлив до целых. Плита движется поступательно. Все соударения шарика с плитой считать абсолютно упругими. Ускорение свободного падения g=10 м/с 2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Answer 1

Переходим в инерциальную систему отсчёта движущейся плиты. Тогда плита оказывается покоящейся, а шарик движется относительно неё в гравитационном поле Земли с начальной скоростью U = 4 м/с, направленной строго вверх, и ускорением свободного падения, направленным вниз. Уравнение движения шарика (т.е. его высота над покоящейся в этой системе плитой) до первого соударения описывается как:

h = Ut – gt²/2 ;

Время первого соударения найдём из этого же уравнения:

0 = UT – gT²/2 ;

T = 2U/g ;

Далее, после упругого отскока
движение будет повторяться периодически с перидом:

T = 2U/g ;

После целого числа периодов nT = T*E(t/T), положение шарика над плитой определяется оставшимся временем t' из первого уравнения:

t' = t – nT = T*[t/T] – T*E(t/T) = T ( [t/T] – E(t/T) ) = T frac[ t/T ] ,
где E() – целая часть числа, а frac() – дробная часть числа;

h = Ut' – gt'²/2 = UT frac[t/T] – gT²frac²[t/T]/2 =
= 2U²frac[gt/2U]/g – 2U²frac²[gt/2U]/g = 2U²/g ( frac[gt/2U] – frac²[gt/2U] ) ;

h = 2U²/g ( frac[gt/2U] – frac²[gt/2U] ) = [2U²/g] frac[gt/2U] frac[–gt/2U] ;

h = 2U²/g ( frac[gt/2U] – frac²[gt/2U] ) ≈ 32/10 ( frac[10*19/8] – frac²[10*19/8] ) ≈
≈ 16/5 ( frac[95/4] – [3/4]² ) ≈ 16/5 ( 3/4 – 9/16 ) ≈ 16/5 * 3/16 ≈ 3/5 ≈ 0.6 м ≈ 60 см ;

*** посчитаем ещё и для g ≈ 9.8 м/с² *** по второй формуле ***
h = [2U²/g] frac[gt/2U] frac[–gt/2U] ≈ [32/9.8] frac[9.8*19/8] frac[–9.8*19/8] ≈
≈ [160/49] frac[931/40] frac[–931/40] ≈ [160/49] [11/40] [29/40] ≈
≈ 319/490 ≈ 0.65 м ≈ 65 см ;



ОТВЕТ: h ≈ 60 см ;   ( для g ≈ 10 м/с² ) ;


*** h ≈ 65 см ;   ( для g ≈ 9.8 м/с² ) .