Ctg2a=1/tg2a=1:2tga/(1-tg²a)=(1-tg²a)/2tga
1-(1-tg²a)/2tga *tga=1-(1-tg²a)/2=(2-1+tg²a)/2=(1+tg²a)/2
tga+ctga=tga+1/tga=(tg²a+1)/tga
(1+tg²a)/2:(1+tg²a)/tga=(1+tg²a)/2*tga/(1+tg²a)=tga/2
85/17=5(р.)
Ответ: в 5 раз бабушка старше внука
Воспользуемся формулой:
![\cos{x} + \cos{y} = 2 \cos{ \frac{ x + y }{2} } \cos{ \frac{ x - y }{2} } \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Ccos%7Bx%7D+%2B+%5Ccos%7By%7D+%3D+2+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+x+%2B+y+%7D%7B2%7D+%7D+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+x+-+y+%7D%7B2%7D+%7D+%5C+%3B+)
И получим, что:
![\cos{3a} + \cos{4a} + \cos{5a} = \cos{3a} + \cos{5a} + \cos{4a} = \\\\ = 2 \cos{ \frac{ 3a + 5a }{2} } \cos{ \frac{ 3a - 5a }{2} } + \cos{4a} = 2 \cos{ \frac{ 8a }{2} } \cos{ \frac{ -2a }{2} } + \cos{4a} = \\\\ = 2 \cos{4a} \cos{a} + \cos{4a} = \cos{4a} ( 2 \cos{a} + 1 ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Ccos%7B3a%7D+%2B+%5Ccos%7B4a%7D+%2B+%5Ccos%7B5a%7D+%3D+%5Ccos%7B3a%7D+%2B+%5Ccos%7B5a%7D+%2B+%5Ccos%7B4a%7D+%3D+%5C%5C%5C%5C+%3D+2+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+3a+%2B+5a+%7D%7B2%7D+%7D+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+3a+-+5a+%7D%7B2%7D+%7D+%2B+%5Ccos%7B4a%7D+%3D+2+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+8a+%7D%7B2%7D+%7D+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+-2a+%7D%7B2%7D+%7D+%2B+%5Ccos%7B4a%7D+%3D+%5C%5C%5C%5C+%3D+2+%5Ccos%7B4a%7D+%5Ccos%7Ba%7D+%2B+%5Ccos%7B4a%7D+%3D+%5Ccos%7B4a%7D+%28+2+%5Ccos%7Ba%7D+%2B+1+%29+%5C+%3B+)
Вывод:
![\cos{3a} + \cos{4a} + \cos{5a} = \cos{4a} ( 2 \cos{a} + 1 ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Ccos%7B3a%7D+%2B+%5Ccos%7B4a%7D+%2B+%5Ccos%7B5a%7D+%3D+%5Ccos%7B4a%7D+%28+2+%5Ccos%7Ba%7D+%2B+1+%29+%5C+%3B+)
![\sin{3a} + \sin{4a} + \sin{5a} = \cos{ ( \frac{ \pi }{2} - 3a ) } + \cos{ ( \frac{ \pi }{2} - 5a ) } + \sin{4a} = \\\\ = 2 \cos{ \frac{ [ \pi/2 - 3a ] + [ \pi/2 - 5a ] }{2} } \cos{ \frac{ [ \pi/2 - 3a ] - [ \pi/2 - 5a ] }{2} } + \sin{4a} = \\\\ = 2 \cos{ \frac{ \pi - 8a }{2} } \cos{ \frac{ 2a }{2} } + \sin{4a} = 2 \cos{ ( \frac{ \pi }{2} - 4a ) } \cos{a} + \sin{4a} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csin%7B3a%7D+%2B+%5Csin%7B4a%7D+%2B+%5Csin%7B5a%7D+%3D+%5Ccos%7B+%28+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B2%7D+-+3a+%29+%7D+%2B+%5Ccos%7B+%28+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B2%7D+-+5a+%29+%7D+%2B+%5Csin%7B4a%7D+%3D+%5C%5C%5C%5C+%3D+2+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+%5B+%5Cpi%2F2+-+3a+%5D+%2B+%5B+%5Cpi%2F2+-+5a+%5D+%7D%7B2%7D+%7D+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+%5B+%5Cpi%2F2+-+3a+%5D+-+%5B+%5Cpi%2F2+-+5a+%5D+%7D%7B2%7D+%7D+%2B+%5Csin%7B4a%7D+%3D+%5C%5C%5C%5C+%3D+2+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+%5Cpi+-+8a+%7D%7B2%7D+%7D+%5Ccos%7B+%5Cfrac%7B+2a+%7D%7B2%7D+%7D+%2B+%5Csin%7B4a%7D+%3D+2+%5Ccos%7B+%28+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B2%7D+-+4a+%29+%7D+%5Ccos%7Ba%7D+%2B+%5Csin%7B4a%7D+%5C+%3B+)
Вывод:
![\sin{3a} + \sin{4a} + \sin{5a} = \sin{4a} ( 2 \cos{a} + 1 ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csin%7B3a%7D+%2B+%5Csin%7B4a%7D+%2B+%5Csin%7B5a%7D+%3D+%5Csin%7B4a%7D+%28+2+%5Ccos%7Ba%7D+%2B+1+%29+%5C+%3B+)
А теперь всё подставляя, получаем, что:
![\frac{ \cos{3a} + \cos{4a} + \cos{5a} }{ \sin{3a} + \sin{4a} + \sin{5a} } = \frac{ \cos{4a} ( 2 \cos{a} + 1 ) }{ \sin{4a} ( 2 \cos{a} + 1 ) } = \frac{ \cos{4a} }{ \sin{4a} } = ctg{4a} \ .](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+%5Ccos%7B3a%7D+%2B+%5Ccos%7B4a%7D+%2B+%5Ccos%7B5a%7D+%7D%7B+%5Csin%7B3a%7D+%2B+%5Csin%7B4a%7D+%2B+%5Csin%7B5a%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+%5Ccos%7B4a%7D+%28+2+%5Ccos%7Ba%7D+%2B+1+%29+%7D%7B+%5Csin%7B4a%7D+%28+2+%5Ccos%7Ba%7D+%2B+1+%29+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+%5Ccos%7B4a%7D+%7D%7B+%5Csin%7B4a%7D+%7D+%3D+ctg%7B4a%7D+%5C+.+)
13:28=13/28часа доехал мотоциклист до села
4*13/28=13/7км прошел пешеход за это время
13-1 6/7=11 1/7км расстояние между ними во время выезда мотоциклиста из второго села
28+4=32км час скорость сближения
78/7:32=39/112часа встретились
39/112*4=39/28км прошел пешеход до встречи
13/7+39/28=(52+39)/28=91/28км =3,25км=3250м прошел пешеход всего
2дес.+8дес=10 десятков или сотни