Question

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , все ребра которой равны 3 найдите расстояние от точки Dдо прямой A1B1

Answer 1

В правильном шестиугольнике диагональ BD перпендикулярна стороне AB. Это легче легкого увидеть, если вычесть из угла CBA = 120° угол DBC = 30° (это угол в основании равнобедренного треугольника CBD с углом при вершине BCD = 120°);
Поэтому плоскость DBB1D1 перпендикулярна A1B1. Это потому, что AB (и параллельная ей A1B1, конечно) перпендикулярна не только BD, но и ребру BB1, к примеру.
Поэтому искомое расстояние - это просто отрезок DB1. 
Треугольник DBB1 - прямоугольный c катетами BD и BB1 = 3. 
Правильный шестиугольник можно себе представить, как "сложенные вершинами" 6 одинаковых правильных треугольника. Поэтому большая диагональ равна удвоенной стороне, AD = 6. 
(Или можно так сказать - большая диагональ равна диаметру описанной окружности, а сторона - хорде дуги 60° этой окружности, то есть равна радиусу.) 
Кажется, что теперь надо вычислить BD и потом найти B1D по теореме Пифагора. Так вот на самом деле ничего этого делать не нужно (хотя это и ОООЧЕНЬ просто). Дело в том, что треугольник DBB1 равен треугольнику DBA по двум катетам, так как BA = BB1 = 3. Поэтому ответ уже получен, DB1 = 6.