Question

4. Сложные логарифмы, даю 35 б.

Answer 1

4.  Найти сумму всех целочисленных решений неравенства 
(x² +9x +8) / (1 -Log_6  | x - 4 | ) ≥ 0 .
---
ОДЗ : { x - 4 ≠ 0 ; 1 - Log_6  | x - 4 | ≠ 0 .  ⇔ { x  ≠ 4 ;  | x - 4 | ≠ 6. ⇔ 
{  x  ≠  - 2 ;   x  ≠ 4 ;   x   ≠ 10 . ⇒ x∈( -∞; -2) ∪(-2; 4) U (4 ;10) U (10 ;∞)
---
(x+8)(x+1)  / (1 -Log_6  | x - 4 | )  ≥ 0 
                    
a) { (x+8)(x+1) ≥ 0  ; 1 - Log_6  | x - 4 | > 0 .⇔
{ (x+8)(x+1) ≥ 0 ;  Log_6  | x - 4 | <  Log_6  6  .
{  x ∈(-∞ ; -8 ] ∪[ -1 ; ∞)  ;  0 < | x - 4 |  < 6 .   ⇔ 
{ x ∈(-∞ ; -8] ∪[-1 ; ∞)  ;  x ∈(- 2 ; 4) ∪ (4 ;10 ) .
 
////////////// [ -8] --------------------- [ -1] /////////////////////////////////////////////////////
-------------- [ -8] ---------(-2) ////////////////////////////(4) //////////////////(10) 
 ⇒  x ∈ [-1 ;4)  ∪ (4 ;10 )  .
----
b)  { (x+8)(x+1) ≤ 0  ; 1 - Log_6  | x - 4 | <  0. ⇔  { x ∈ [-8 ; -1]  ;   | x - 4 | >  6. ⇔ 
{ x ∈ [-8 ; -1]  ;  x ∈(-∞ ;- 2)  ∪ (10 ;∞ ). 

------------ [ -8] ///////////////////////////////[ -1] ---------------------------
//////////////////////////////////(-2)------------------------(4) -----------(10) /////////////////////////
⇒ x ∈ [ -8 ; -2)    
общее решение  неравенства :  x  ∈  [ -8 ; -2)  ∪  [-1 ;4)  ∪ (4 ;10 ).
сумма целочисленных решений  :  (- 8) +( - 7) + ( - 6) +(- 5)+(-4) +(-3) +(-1) +0 +1 + 2 + 3+ 5 +6+7 +8 +9 = 9+2 -4 =7.
ответ :  7 .
-------------------
5. Найти произведение  целочисленных решений неравенства 
( | 2x -3| - |3x +6| -2 ) /  ( tq²  πx / 6 +4)  >0 ⇔
(  |3x +6| - |2x -3| + 2 ) /  ( tq²  πx / 6 + 4 ) < 0 ;
ОДЗ :   πx / 6 ≠ π/2 +πn , n∈Z ⇔ x ≠ 3(2n+1) ,  n ∈Z. 
В  ОДЗ    tq²  πx / 6 +4  > 0 , поэтому :
 |3x +6| - |2x -3| + 2  < 0  ⇔ совокупности 3-х систем неравенств :
a)  { x <  -2  ;  - ( 3x +6) +( 2x -3| + 2  < 0 .⇔ { x <  -2  ;   x  > - 7 .⇒x ∈ (-7 ;-2).
b) { -2 ≤x < 1,5 ; (3x +6) +( 2x -3| + 2  < 0.⇔{ -2 ≤x < 1,5 ; x  < - 1.⇒x ∈ [-2 ;-1).
c)  {x ≥1,5 ; (3x +6) -( 2x -3| + 2  < 0.⇔{ x ≥1,5 ; x  < -11.⇒x ∈ ∅.
решение : x ∈ (-7 ;-2) ∪ [ -2 ; -1) ⇔ x ∈ (-7  ; -1).
произведение  целочисленных решений неравенства  будет :
(-6)*(-5)*(-4)*(-2) = 240 .
 * * *  - 3 =3( 2*(-1) +1)   не являются решениями ∉ ОДЗ . * * *
ответ   :  2 40 .