Применены : формулы дифференцирования, взаимозависимость функции и производной
Ответ:
Собственные числа находят из характеристического уравнения:
|A-λE|=0
![\begin{vmatrix} \begin{pmatrix}6&6&6\\-6&-4 &-1\\ 6&4&1\end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1 &0 \\0&0 &1 \end{pmatrix}\end{vmatrix}=0 \\ \\ \\ \begin{vmatrix}6-\lambda &6 &6 \\ -6&-4-\lambda & -1\\ 6& 4 &1-\lambda\end{vmatrix}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bvmatrix%7D+%5Cbegin%7Bpmatrix%7D6%266%266%5C%5C-6%26-4+%26-1%5C%5C+6%264%261%5Cend%7Bpmatrix%7D+-%5Clambda+%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+1%260%260%5C%5C0%261+%260+%5C%5C0%260+%261+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D0+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Cbegin%7Bvmatrix%7D6-%5Clambda+%266+%266+%5C%5C+-6%26-4-%5Clambda+%26+-1%5C%5C+6%26+4+%261-%5Clambda%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D0)
Проверяем будет ли -8 являться собственным числом данной матрицы:
![1) \lambda=-8 \\ \\ \begin{vmatrix}6+8 &6 &6 \\ -6&-4+8 & -1\\ 6&4 &1+8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}14 &6 &6 \\-6&4&-1\\6& 4 &9\end{vmatrix}=14*4*9-6*4*6-6*1*6- \\ \\ -(6*4*6-6*6*9-14*4*1)=324+236=560\neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=1%29+%5Clambda%3D-8+%5C%5C+%5C%5C+%5Cbegin%7Bvmatrix%7D6%2B8+%266+%266+%5C%5C+-6%26-4%2B8+%26+-1%5C%5C+6%264+%261%2B8%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D14+%266+%266+%5C%5C-6%264%26-1%5C%5C6%26+4+%269%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D14%2A4%2A9-6%2A4%2A6-6%2A1%2A6-+%5C%5C+%5C%5C+-%286%2A4%2A6-6%2A6%2A9-14%2A4%2A1%29%3D324%2B236%3D560%5Cneq+0)
Определитель не равен нулю, следовательно -8 не является собственным числом матрицы А
Проверяем число 0
![2)\lambda=0\\ \\ \begin{vmatrix}6-\lambda &6 &6 \\-6&-4-\lambda & -1\\6&4&1-\lambda \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&6&6\\-6&-4&-1\\6&4&1 \end{vmatrix}=0](https://tex.z-dn.net/?f=2%29%5Clambda%3D0%5C%5C+%5C%5C+%5Cbegin%7Bvmatrix%7D6-%5Clambda+%266+%266+%5C%5C-6%26-4-%5Clambda+%26+-1%5C%5C6%264%261-%5Clambda+%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D6%266%266%5C%5C-6%26-4%26-1%5C%5C6%264%261+%5Cend%7Bvmatrix%7D%3D0)
(вторая строка определителя пропорционально третьей строке, поэтому этот определитель равен нулю)
значит λ=0 - собственное число матрицы А
теперь находим собственный вектор из матричного уравнения:
![\begin{pmatrix}6-\lambda &6 &6 \\ -6&-4-\lambda& -1\\ 6& 4 &1-\lambda\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ \begin{pmatrix}6 &6 &6 \\ -6&-4 & -1\\ 6& 4 &1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \\0 \end{pmatrix} \\ \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D6-%5Clambda+%266+%266+%5C%5C+-6%26-4-%5Clambda%26+-1%5C%5C+6%26+4+%261-%5Clambda%5Cend%7Bpmatrix%7D%2A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+x%5C%5C+y%5C%5Cz+%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+0%5C%5C0+%5C%5C0+%5Cend%7Bpmatrix%7D+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Cbegin%7Bpmatrix%7D6+%266%C2%A0%266+%5C%5C+-6%26-4+%26+-1%5C%5C+6%26+4+%261%5Cend%7Bpmatrix%7D%2A%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+x%5C%5C+y%5C%5Cz+%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+0%5C%5C0+%5C%5C0+%5Cend%7Bpmatrix%7D+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C)
![\left\{\begin{matrix} 6x+6y+6z=0 \ |:6\\ -6x-4y-z=0\\6x+4x+z=0 \ |*(-1)\end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}x+y+z=0 \ \\ -6x-4y-z=0\\-6x-4x-z=0\end{matrix}\right. <=> \ \ \\ \\ \\ <=> \ \ \left\{\begin{matrix}x+y+z=0 \ \\ -6x-4y-z=0\end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\ 6(y+z)-4y-z=0\end{matrix}\right. <=> \\ \\ <=>\left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\ 6y+6z-4y-z=0\end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\2y=-5z\end{matrix}\right. <=>](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D+6x%2B6y%2B6z%3D0+%5C+%7C%3A6%5C%5C+-6x-4y-z%3D0%5C%5C6x%2B4x%2Bz%3D0+%5C+%7C%2A%28-1%29%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+%3C%3D%3E+%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2By%2Bz%3D0+%5C+%5C%5C+-6x-4y-z%3D0%5C%5C-6x-4x-z%3D0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+%3C%3D%3E+%5C+%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%3C%3D%3E+%5C+%5C+%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2By%2Bz%3D0+%5C+%5C%5C+-6x-4y-z%3D0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+%3C%3D%3E+%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dy%2Bz%3D-x+%5C+%5C%5C+6%28y%2Bz%29-4y-z%3D0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+%3C%3D%3E+%5C%5C+%5C%5C+%3C%3D%3E%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dy%2Bz%3D-x+%5C+%5C%5C+6y%2B6z-4y-z%3D0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+%3C%3D%3E+%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dy%2Bz%3D-x+%5C+%5C%5C2y%3D-5z%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+%3C%3D%3E)
![\left\{\begin{matrix}y+z=-x \ \\2y=-5z\end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}-2.5z+z=-x \ \\y=-2,5z\end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix}x=1.5z\ \\y=-2.5z\end{matrix}\right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dy%2Bz%3D-x+%5C+%5C%5C2y%3D-5z%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+%3C%3D%3E+%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D-2.5z%2Bz%3D-x+%5C+%5C%5Cy%3D-2%2C5z%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.+%3C%3D%3E+%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D1.5z%5C+%5C%5Cy%3D-2.5z%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
Собственный вектор будет иметь координаты:
![\vec{u}=(1.5z;-2.5z;z)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%7Bu%7D%3D%281.5z%3B-2.5z%3Bz%29)
Пусть z=-2, тогда
![\vec{u}=(-3;5;-2)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cvec%7Bu%7D%3D%28-3%3B5%3B-2%29)
Ответ: 5;-2
15-5=10(кг)
Ответ: на 10 кг больше травы чем сена