Question

Исследовать на непрерывность функцию y=x-3x2 .Спосибо заранее.Сложная тема.

Answer 1

Общее решение непрерывности функции на |R.
$|x-3x^2-x_0+3x_0^2|=|(x-x_0)-3(x-x_0)(x+x_0)|=$$|x-x_0||1-3(x+x_0)|$
Пусть δ=$\frac{e}{|1-3(x_0-1)|}$, тогда:
$|x-x_0|<$ δ $<1$ получаем:
$|x-x_0||1-3(x+x_0)|<$δ $|1-3(x_0-1)|$=$\frac{e}{|1-3(x_0-1)|}*|1-3(x_0-1)|=e$

Частный случай: $x_0=\frac{4}{3}$ (тогда в знаменателе получим 0). Сокращаем область для δ до $(x_0-\frac{1}{3},x_0+\frac{1}{3}$ и назначим δ=$\frac{e}{|1-3(x_0-\frac{1}{2})|}$

Получаем что для любого$x_0 \in |R- \{\frac{4}{3}\}$выполняется: для любого ε есть δ=$\frac{e}{|1-3(x_0-1)|}$ (в дроби константа) так, что:
$|x-x_0|<$ δ $=>|f(x)-f(x_0)|<$ε
А для частного случая: для любого ε есть δ=$\frac{e}{|1-3(x_0-\frac{1}{2})|}$ так, что:
$|x-x_0|<$ δ $=>|f(x)-f(x_0)|<$ε