1a) f'(x) = (2x³ + 7x²)'=6x² + 14x
1б) f'(x) = (3sinx - cosx + tgx)' = 3cosx + sinx + 1/cos²x
1в) f'(x) = [(3x^4 + 1)*(2x³ - 3)]' = (3x^4 + 1)' * (2x³ - 3) + (3x^4 + 1) * (2x³ - 3)' =
= 12x³ *(2x³ - 3) + (3x^4 + 1) * 6x²
1г)
![f'(x)=[ \frac{2sin3x-3cosx}{sin2x} ]'= \frac{(2sin3x -3cosx)' * sin2x - (2sin3x -3cosx)*(sin2x)'}{sin^{2}2x} = \\ \\ = \frac{(6cos3x +3sinx) * sin2x + (2sin3x -3cosx)*2*cos2x}{sin^{2}2x}](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%5B+%5Cfrac%7B2sin3x-3cosx%7D%7Bsin2x%7D+%5D%27%3D+%5Cfrac%7B%282sin3x+-3cosx%29%27+%2A+sin2x+-+%282sin3x+-3cosx%29%2A%28sin2x%29%27%7D%7Bsin%5E%7B2%7D2x%7D+%3D++%5C%5C++%5C%5C+%3D+%5Cfrac%7B%286cos3x+%2B3sinx%29+%2A+sin2x+%2B+%282sin3x+-3cosx%29%2A2%2Acos2x%7D%7Bsin%5E%7B2%7D2x%7D+)
1д)
![f'(x)=[ \sqrt{3 x^{2} -1} ]'= [(3 x^{2} -1)^{ \frac{1}{2} }]'= \frac{1}{2} *(3 x^{2} -1)^{ -\frac{1}{2} }= \frac{1}{2 \sqrt{3 x^{2} -1} }](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%5B+%5Csqrt%7B3+x%5E%7B2%7D+-1%7D+%5D%27%3D+%5B%283+x%5E%7B2%7D+-1%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D%5D%27%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2A%283+x%5E%7B2%7D+-1%29%5E%7B+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2+%5Csqrt%7B3+x%5E%7B2%7D+-1%7D+%7D+)
2) Находим производную
f'(x) = (2x³ + 6x²)' = 6x² + 12x = 6x (x + 2)
Решаем неравенство f'(x) > 0:
6x (x + 2) > 0
Левая часть больше нуля, когда x > 0 и x > -2. Объединяем эти два решения, получаем, 1) x > 0.
Левая часть больше нуля и в таком случае, когда x < 0 и x < -2. Объединяем, получаем, 2) x < -2
Ответ: x ∈ (-∞; -2) ∪ (0; +∞)
4) Скорость - это производная перемещения по времени:
x(t) = 2t² - 8t + 7
v(t) = x'(t) = 4t - 8
Приравниваем скорость нулю и определяем момент времени, когда скорость равна нулю:
4t - 8 = 0
4t = 8
t = 2