Дано: ΔABC, AD-биссектриса, K ∈ AC, DK=AK, BAD=32°
Найти: ∠AKD, ∠DAK, ∠ADK
Решение: ∠BAD= ∠DAK т.к. AD- биссектриса ⇒
⇒ ∠DAK = ∠ADK т.к. DK=AK углы при основании равны ⇒
∠AKD = 180 °- ( ∠ADK+ ∠DAK)=180 ° - (32 ° + 32°)=180°-64 ° =116°
(сумма всех сторон в треугольнике всегда равна 180°)
Ответ: ∠DAK=32°, ∠ADK= 32°, ∠AKD= 116°.
Угол В=180⁰-45⁹-30⁹=105⁰
По теореме синусов:
В данном треугольнике:
sin 105°=sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos30°+cos45°sin 30°=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/4
тогда ВС=а:(√3+1)/2=2a/(√3+1)=а(√3-1) Освободились от иррациональности в знаменателе. Умножили и числитель и знаменатель на (√3-1) в знаменателе получили формулу разности квадратов (√3)²-1=2.
Площадь треугольника можно найти по формуле
S=1/2·АС·ВС ·sin 30⁰=1/4·а·а·(√3-1)=а²(√3-1)/4
Найдем сначала АС по теореме Пифагора.
АС²=АВ²+ВС² ⇒ АС²=6²+8² ⇒АС=10
Дальше по свойству медиан ВD=1/2√2AB²+2BC²-AC² \\ подставляем значения
ВD= 1/2√2*6²+2*8²-10² ⇒BD=1/2*10=5