а²+а²+а²√2=2а²+а²√2=а²(2+√2)
а²=S/(2+√2)=S·(2-√2)/(4-2)=S(2-√2)/2
Я пишу решение "вслепую", так что проверяйте потом.
Пусть O1 - центр окружности радиуса 4 (на ней пусть лежит точка A); O2 - центр второй окружности.
Тут кругом прямые углы. Логичнее начать с пункта в)
Отрезки O1A и O2B оба перпендикулярны AB => O1A II O2B;
=> ∠AO1P + ∠BO2P = 180°; Это центральные углы дуг AP и BP;
=> ∠PAB + ∠PBA = 90°; => ∠APB = 90°;
б) O1K - биссектриса ∠AKP; O2K = биссектриса ∠BKP;
Половины этих углов в сумме составляют ∠O1KO2; то есть
∠O1KO2 = 90°;
PK - высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике O1KO2;
и она делит гипотенузу на отрезки 4 и 11; поэтому PK^2 = 4*11 = 44;
PK = 2√11
а) AB найти проще всего. Из O1 надо провести прямую перпендикулярно O2B (и параллельно AB); получается прямоугольный треугольник с гипотенузой 4 + 11 =15; и катетом 11 - 4 = 7; откуда AB^2 = 15^2 - 7^2 = 11*16;
AB = 4√11;
PK = AB/2; что совсем не удивительно (я тут нарочно схитрил, чтобы подольше понабирать решение.)
Дело в том, что PK - медиана в прямоугольном треугольнике APB, то есть PK = AB/2; сразу без всяких вычислений.
Но зато ответ получен двумя разными способами. Можно выбирать, что считать и каким способом, PK или AB...
Т.к. это куб, то все ребра его равны, т.е. AA1=BB1=CC1=DD1=АВ=ВС=СD=DA=А1В1=В1С1=С1D1=D1A1. Т.к. К, F, O, P - середины сторон, следовательно, BK=KB1=BF=FC=DP=PD1=A1O=OD1. У куба все угла между ребрами равны 90 градусам. Т.е. в нужных нам треугольниках уголPD1O=уголKBF=90. По теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними можем сказать, что KB=BF=PD1=D10 и углы межу ними 90 градусов, следовательно, треугольники KBF и PD1O равны.
<span>Значок вектора писаться не хочет. Поймёшь? </span>
<span>1. Из точки(например, В) задай вектора ВА=a, ВС= b, ВВ1=c. </span>
<span>2. Вырази вектора ВМ и В1С через вектора a, b, c. Для проверки: ВМ=a + 1/2b + 1\2c, В1С=b - c </span>
<span>3.Найди косинус угла через скалярное произведение векторов: </span>
<span>вектора ВМ*В1С= длина ВМ*длина В1С * cos угла. </span>
<span>* это пусть будет знак умножения. </span>
<span>ВМ*В1С= (a + 1/2b + 1\2c)*(b - c)= ab+ 1/2b( "в" квадрате) + 1/2bc - ac - 1/2bc - 1/2c( "с" в квадрате). Т.к. вектора "а", "b" и "с" ортогональны, то их произведение равны нулю. </span>
<span>Остаётся: = 1/2b( "в" квадрате) - 1/2c( "с" в квадрате) = 1/2*1 - 1/2*1 = 0 </span>
<span>"в" квадрате = 1, "с" в квадрате =1 </span>
<span>4. Если скалярное произведение ВМ*В1С = 0, это значит, что и cos угла = 0. </span>
<span>Отсюда следует, угол будет 90 градусов. </span>
<span>Длины вектора "ВМ" и "В1С" даже нет нужды вычислять.</span>