Возведём в квадрат выражение для медианы
![m_c](https://tex.z-dn.net/?f=+m_c+)
, проведённой к стороне
![c ,](https://tex.z-dn.net/?f=+c+%2C+)
предварительно умножив его на
![2](https://tex.z-dn.net/?f=+2+)
, и получим:
![( 2 m_c )^2 = 2 ( a^2 + b^2 ) - c^2](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+2+m_c+%29%5E2+%3D+2+%28+a%5E2+%2B+b%5E2+%29+-+c%5E2+)
;
Используя теорему косинусов для исключения значения
![c](https://tex.z-dn.net/?f=+c+)
из искомого выражения, получим:
![( 2 m_c )^2 = 2 ( a^2 + b^2 ) - ( a^2 + b^2 - 2 ab \cos{ \gamma } )](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+2+m_c+%29%5E2+%3D+2+%28+a%5E2+%2B+b%5E2+%29+-+%28+a%5E2+%2B+b%5E2+-+2+ab+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%29+)
;
![( 2 m_c )^2 = 2 a^2 + 2 b^2 - a^2 - b^2 + 2 ab \cos{ \gamma }](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+2+m_c+%29%5E2+%3D+2+a%5E2+%2B+2+b%5E2+-+a%5E2+-+b%5E2+%2B+2+ab+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+)
;
![( 2 m_c )^2 = a^2 + b^2 + 2 ab \cos{ \gamma }](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+2+m_c+%29%5E2+%3D+a%5E2+%2B+b%5E2+%2B+2+ab+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+)
;
![a^2 + [ 2b \cos{ \gamma } ] \cdot a - [ ( 2 m_c )^2 - b^2 ] = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+a%5E2+%2B+%5B+2b+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%5D+%5Ccdot+a+-+%5B+%28+2+m_c+%29%5E2+-+b%5E2+%5D+%3D+0+)
;
Итак, мы получили параметрическое приведённое квадратное уравнение (старший коэффициент равен единице) с чётным центральным линейным коэффициентом
![q = 2 q_1 ,](https://tex.z-dn.net/?f=+q+%3D+2+q_1+%2C+)
где
![q_1 = b \cos{ \gamma }](https://tex.z-dn.net/?f=+q_1+%3D+b+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+)
и свободным слагаемым
![p = - [ ( 2 m_c )^2 - b^2 ]](https://tex.z-dn.net/?f=+p+%3D+-+%5B+%28+2+m_c+%29%5E2+-+b%5E2+%5D+)
;
Его решения выражаются, как:
![a_{1,2} = -q_1 \pm \sqrt{ D_{1P} } ,](https://tex.z-dn.net/?f=+a_%7B1%2C2%7D+%3D+-q_1+%5Cpm+%5Csqrt%7B+D_%7B1P%7D+%7D+%2C+)
где
![D_{1P} = q_1^2 - p ,](https://tex.z-dn.net/?f=+D_%7B1P%7D+%3D+q_1%5E2+-+p+%2C+)
где чётно-приведённый дискриминант
![D_{1P}](https://tex.z-dn.net/?f=+D_%7B1P%7D+)
выражается, как:
![D_{1P} = ( b \cos{ \gamma } )^2 + ( 2 m_c )^2 - b^2 = b^2 ( \cos^2{ \gamma } - 1 + ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 ) = b^2 ( ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } )](https://tex.z-dn.net/?f=+D_%7B1P%7D+%3D+%28+b+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%29%5E2+%2B+%28+2+m_c+%29%5E2+-+b%5E2+%3D+b%5E2+%28+%5Ccos%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+-+1+%2B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+%29+%3D+b%5E2+%28+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%29+)
и:
![\sqrt{ D_{1P} } = b \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B+D_%7B1P%7D+%7D+%3D+b+%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+)
;
В итоге:
![a_{1,2} = -b \cos{ \gamma } \pm b \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } = b ( \pm \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } - \cos{ \gamma } )](https://tex.z-dn.net/?f=+a_%7B1%2C2%7D+%3D+-b+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%5Cpm+b+%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+%3D+b+%28+%5Cpm+%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+-+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%29+)
;
На первый взгляд, может обманчиво (!) показаться, что при использовании перед корнем из дискриминанта знака «минус», решение в целом будет отрицательным, а стало быть, нужно брать только одно решение со знаком «плюс» перед корнем из дискриминанта. НО ЭТО НЕ ТАК! Если угол
![\gamma](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cgamma+)
– тупой, то
![\cos{ \gamma } < 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%3C+0+)
и слагаемое
![[ -\cos{ \gamma } ] > 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5B+-%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%5D+%3E+0+)
, так что если это слагаемое по модулю будет больше корня из дискриминанта, то оба решения будут положительными и значит при заданных медиане
![m_c ,](https://tex.z-dn.net/?f=+m_c+%2C+)
стороне
![b](https://tex.z-dn.net/?f=+b+)
и значения угла
![\gamma](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cgamma+)
– будут возможны два варианта стороны
![a](https://tex.z-dn.net/?f=+a+)
и соответственно два несколько различных треугольника!
Чтобы понять, когда второй корень будет тоже положительным, потребуем:
![a_2 = b ( -\sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } - \cos{ \gamma } ) > 0](https://tex.z-dn.net/?f=+a_2+%3D+b+%28+-%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+-+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%29+%3E+0+)
;
![-\sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } - \cos{ \gamma } > 0](https://tex.z-dn.net/?f=+-%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+-+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%3E+0+)
;
![\sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } < - \cos{ \gamma } > 0 ,](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+%3C+-+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%3E+0+%2C+)
при
![\gamma \in ( 90^o ; 180^o)](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cgamma+%5Cin+%28+90%5Eo+%3B+180%5Eo%29+)
;
![( \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } )^2 < ( - \cos{ \gamma } )^2](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+%29%5E2+%3C+%28+-+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%29%5E2+)
;
![( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } < \cos^2{ \gamma }](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%3C+%5Ccos%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+)
;
![( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 < \sin^2{ \gamma } + \cos^2{ \gamma }](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+%3C+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%2B+%5Ccos%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+)
;
![( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 < 1 ,](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+%3C+1+%2C+)
поскольку:
![m_c > 0](https://tex.z-dn.net/?f=+m_c+%3E+0+)
и
![b > 0 ,](https://tex.z-dn.net/?f=+b+%3E+0+%2C+)
то:
![\frac{ 2 m_c }{b} < 1](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%3C+1+)
;
![2 m_c < b](https://tex.z-dn.net/?f=+2+m_c+%3C+b+)
;
![m_c < \frac{b}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+m_c+%3C+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%7D+)
– именно при таком условии, в случае, когда угол
![\gamma](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cgamma+)
– тупой, имеется два различных решения для
![a](https://tex.z-dn.net/?f=+a+)
и два различных треугольника.
О т в е т :
Если угол
![\gamma](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cgamma+)
– тупой, и медиана
![m_c < \frac{b}{2} ,](https://tex.z-dn.net/?f=+m_c+%3C+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%7D+%2C+)
то существует два различных треугольника со сторонами:
![a_{1,2} = b ( | \cos{ \gamma } | \pm \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } )](https://tex.z-dn.net/?f=+a_%7B1%2C2%7D+%3D+b+%28+%7C+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%7C+%5Cpm+%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+%29+)
;
Иначе, если угол
![\gamma](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cgamma+)
– острый или прямой, или если медиана
![m_c \geq \frac{b}{2} ,](https://tex.z-dn.net/?f=+m_c+%5Cgeq+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%7D+%2C+)
то решение единственно:
![a = b ( \sqrt{ ( \frac{ 2 m_c }{b} )^2 - \sin^2{ \gamma } } - \cos{ \gamma } ) .](https://tex.z-dn.net/?f=+a+%3D+b+%28+%5Csqrt%7B+%28+%5Cfrac%7B+2+m_c+%7D%7Bb%7D+%29%5E2+-+%5Csin%5E2%7B+%5Cgamma+%7D+%7D+-+%5Ccos%7B+%5Cgamma+%7D+%29+.+)