Question

По итогам волейбольного турнира, проведенного в один круг (т.е. каждая команда сыграла с каждой одну игру), оказалось, что первые десять команд выиграли у каждой из остальных команд, а сумма очков, набранных первыми десятью командами, на 97 больше, чем сумма очков, набранных остальными командами. Какое наибольшее количество команд могло участвовать в таком турнире? (За победу в игре дается 1 очко, за поражение – 0; ничьих в волейболе не бывает.)

Answer 1

Пусть всего n команд проигравших, тогда n+10 команд всего.

Выигравшие 10 команд играли с проигравшими(n команд) и заработали 10n очков, т.к. всегда выигрывали. А сами с собой заработали(от всем проиграл до у всех выиграл) 0,1,2,..9=45 очков.

Проигравшие команды заработало от ничего до n-1 очков, с шагом d=1. На лицо арифметическая прогрессия найдем её сумму.

$S_n=n\frac{a_1+a_n}{2}=n\frac{0+n-1}{2}=n\frac{n-1}{2};$

Составим формулу на "сумма очков, набранных первыми десятью командами, на 97 больше, чем сумма очков, набранных остальными командами"

$10n+45=n\frac{n-1}{2}+97;$

20n+90-n²+n-97=0;

-n²+21n-7=0;

D=441-4*7=413; при округлении 20,3²;

n=(-21+20,3)/-2=0,3;

n=(-21-35)/-2=20,67;

21 проигравших + 10 выигравших = 31 всего.