Question

Число 76 представить в виде суммы трех слагаемых так,чтобы сумма квадратов всех слагаемых была наименьшей,а отношение первого числа ко второму было равно 2:3

Answer 1

1 этап. Задачу «переводим» на язык функций

Пусть х>0 – коэффициент пропорциональности.

2х – первое слагаемое, 3х – второе. Если из суммы вычесть первое и второе слагаемое, то получим третье слагаемое (76-2х-3х=76-5х), причем положительное.

2 этап.

Тогда 76-5х>0,     х<15,2.

х принадлежит промежутку (0;15,2) – определили границы изменения переменной х.

3 этап.

По условию задачи составим выражение:

(2х)2+(3х)2+(76-5х)2=38х2-760х+762

Сумма квадратов трех чисел будет наименьшей при том значении х, при котором функция f(x)= 38х2-760х+762 на отрезке (0;15,2)  достигает своего наименьшего значения.

                        =76х-760=76(х-10    = 0

                  76(х-10)=0

                  х=10   -   точка минимума , к тому же единственная критическая точка, значит, является результатом решения задачи.

4 этап. Следовательно, данные числа 20, 30 и 26.

Ответ: 20,30,26.

Answer 2

Обозначим х третье слагаемое.
Тогда первое будет (76-x)/5*2
Второе (76-x)/5*3
Целевая функция, подлежащая минимизации
(76-x)^2*13/25+x^2
Производная
76/25(x-26)
Минимум будет при x=26
Ответ:
20, 30, 26