1) Неверно. Это может быть дельтоид. Ещё может быть трапеция с перпендикулярными диагоналями. Если диагонали параллелограмма
перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб, но в условии дан произвольный
четырёхугольник, а не параллелограмм.
2) Неверно. Центр описанной около прямоугольного
треугольника лежит на гипотенузе. Так что центр описанной около треугольника окружности
может лежать на стороне треугольника.
3) Верно.
Дан треугольник со сторонами: √a, √b, √(a + b).
Проверим по теореме, обратной к теореме Пифагора.
Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других
сторон, то такой треугольник
прямоугольный:
(√(a + b))² = (√a)² + (√b)²
a + b
= a +
b. Верно.
Теорема обратная теореме Пифагора выполняется, следовательно, треугольник
прямоугольный.
4) Верно.
Существует треугольник, в котором любая из высот меньше любой из медиан?
Если
хотя бы один такой треугольник привести в пример, то ответ на вопрос – да,
существует. Приведу пример такого треугольника. Рассмотрим треугольник на приложенном
изображении. Один из углов у него – тупой, причём, величина близка к 180°.
Длины сторон – достаточно большие. Вот в таком треугольнике любая высота короче
любой медианы. В приложении «Живая геометрия» измерены длины высот и
медиан. Так что существование такого треугольника очевидно. Над геометрическим
доказательством этого факта подумаю на досуге)))