Question

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a,а боковое ребро l.Обьем пирамиды равен.

Answer 1

Объем пирамиды:

V=$\frac{1}{3}\cdot S\cdot H$,

где S - площадь основания, H - высота

Основание правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник.

Высота такого треугольника:
$h= \sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$

Площадь треугольника, соответственно:
$S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$


Точка пересечения высот правильного треугольника является также и точкой пересечения медиан, а значит делит высоту в отношении 1:2.

Высота правильной пирамиды проецируется в эту точку. Отсюда вычисляем:
$H=\sqrt{l^2-(\frac{2}{3} \cdot h)^2}=\sqrt{l^2-(\frac{a}{\sqrt{3}})^2}= \\\\ \sqrt{l^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{3l^2-a^2}}{\sqrt{3}}$

И наконец, весь объем:
$V= \frac{1}{3}\cdot S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3l^2-a^2}}{\sqrt{3}}=\\\\ =\frac{1}{12}\cdot a^2 \cdot \sqrt{3l^2-a^2}}$

Ответ: $V=\frac{1}{12}\cdot a^2 \cdot \sqrt{3l^2-a^2}}$