Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
y=-x^2+6x-2
y=x^2-2x+4

Answer 1

Пусть первая функция будет (1), а вторая - (2). Построим их графики. Заметим, что они пересекаются в точках (1; 3) и (3; 7). Тогда, чтобы найти площадь фигуры, можно из площади под графиком (1) вычесть площадь под графиком (2) на промежутке [1; 3]. Площадь под графиком функции - это определённый интеграл на заданном промежутке.

$\int\limits^3_1 {-x^2+6x-2} \, dx \\ \int\ {-x^2+6x-2} \ dx=-\frac{x^3}{3}+3x^2-2x = f(x)\\ S_{1}=f(3)-f(1)=-\frac{3^3}{3}+3*3^2-2*3-(-\frac{1^3}{3}+3*1^2-2*1)= \frac{34}{3}$

$\int\limits^3_1 {x^2-2x+4} \, dx\\ \int\ {x^2-2x+4} \ dx =\frac{x^3}{3}-x^2+4x=g(x)\\S_{2}=g(3)-g(1)= \frac{3^3}{3}-3^2+4*3-(\frac{1^3}{3}-1^2+4*1)= \frac{26}{3}$

$S=S_{1}-S_{2}=\frac{34}{3}-\frac{26}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$

Ответ: $2\frac{2}{3}$