По закону всемирного тяготения сила гравитационного взаимодействия между Землей и телом массы m, лежащем на поверхности планеты, определяется выражением Fз = G * Mз * m/ Rз^2, где G - гравитационная постоянная; Mз – масса Земли; Rз – радиус Земли. По этому же закону, сила гравитационного взаимодействия между Луной и тем же телом массой m, определяется выражением Fл = G * Mл * m/ Rл^2, где Мл масса Луны; Rл – радиус Луны. Таким образом, сила гравитационного взаимодействия Земли с некоторым телом больше чем на Луне в Fз/Fл раз. И это равно G * Mз * m* Rл^2 / G * Mл * m * Rз^2 = Mз * Rл^2/ Mл * Rз^2 = (Mз/Mл)* (Rл/Rз) ^2 = 100* (1/4) ^2 = 100/16 = 6,25
Спин (надеюсь, целый) совершенно пров в том, что хотел увидеть решение. Оно не такое элементарное (а чтобы рассчитать угол при вершине, нужно численно решать трансцендентное уравнение). Но ответ меня поразил. Поэтому решил пересчитать в плоском приближении, считая, что Земля большая, так что можно (для ограниченного участка) промоделировать плоскостью. Привожу решение, чтобы каждый мог проверить его. Итак, возьмем на плоскости отрезок натянутой веревки длиной а с прибитыми краями. Разрежем ее, нарастим на 1 м (теперь ее длина а + 1) и оттянем середину вверх. Получим равнобедренный треугольник с длиной боковой стороны (а + 1)/2. Опустим из вершины перпендикуляр на основание. Получим прямоугольный треугольник. Длина этого перпендикуляра (один из катетов, второй равен а/2) равна по теореме Пифагора половине корня квадратного из (2а + 1). Это значит, что чем больше была начальная длина веревки (а), тем выше после ее наращения ее можно приподнять!! Так, если а = 0, получим 1/2 м = 50 см (о чем я и написал выше). Если а = 1 м, вершина треугольника будет на расстоянии 0,87 м от основания. Если а = 100 м (на таком отрезке Земля еще плоская) - уже 7 м (слон пройдет!). Если а = 10 км (уже немного сказывается кривизна Земли), приподнять веревку можно будет на 700 метров! Теперь уже не так удивительно, что получается в случае исходной задачи Спина. Соединим вершину с центром Земли (радиус окружности R), а центр соединим с точкой касания веревки с окружностью. Получим прямоугольный треугольник. Гипотенуза его равна R + x (х - расстояние от Земли до вершины), один из катетов равен R. Вначале длина веревки была 2(пи)R, после ее наращения стала 2(пи)R + 1 (метров). Значит, длина второго катета равна (2(пи)R + 1)/2. Приравнивая квадрат гипотенузы сумме квадратов катетов, получаем: х = R([корень квадратный из 1 + пи-квадрат - 1], что приближенно равно 2,3R. Получается почти 14 тысяч километров! Результат совершенно невероятный (если, конечно, в расчетах нет ошибки). И если он правильный, то пролезет не только блоха с кошки (было и такое мнение), но и самая большая кошка, которую можно вообразить. Получается, что при натягивании "ослабленной" (на 1 метр) веревки, зазор в 17 (кажется) сантиметров "собирается" по всей окружности Земли, и веревка оттягивается (в прямом смысле этого слова) на многие тысячи километров. Был бы раз, если бы кто-то обнаружил ошибку в расчетах (хотя приведенная вначале простая плоская модель, где трудно ошибиться дает такой же странный результат).
Всё зависит от размера шага и от того, какой планеты вам нужен экватор. Если Земли, то возникает вопрос, с какой точностью вам посчитать?
<hr />
Длина экватора (с точностью до метра) - 40075696 метров.
Пусть длина шага = 0,75 метра. (средний шаг 0,7 - 0,8 метра).
Тогда получится: 53434261 шага.
Или немного округляя: 53 миллиона шагов.
Если взять спортсмена по спортивной ходьбе, то его длина шага: 100-115 см. И ему потребуется в среднем чуть более 37 миллионов шагов.
<hr />
P.S. Должен заметить, что за всю жизнь человек проходит больше (см. тут).
В 1671 году Парижская академия наук отправила одного из своих ученых, Жана Рише, в тропическую Кайенну для проведения астрономических наблюдений. Молодой ученый взял с собой тщательно отрегулированные часы, маятник которых отмерял ровно одну секунду за каждое колебание. Он сильно удивлся, когда в тропиках его часы начали отставать - на две минуты в сутки. Пришлось Рише укорачивать маятник. Так как чем меньше его длина, тем быстрее ход. Но когда экспедиция вернулась в Париж, его часы побежали - они стали уходить вперед на две минуты в сутки. А значит ли это, подумал Рише, что на разных широтах величина силя тяжести не одинакова. Но тогда форма Земли, вовсе не идеальный шар, а сплюснутый у полюсов.
Потому что наша Земля - не идеальный шар. Основной центр масс нашей планеты находится в ядре, и вызывает гравитацию на поверхности. Так как расстояние от ядра до центра на экваторе больше, то притяжение будеть несколько меньше. Разница расстояний от центра до экватора и от центра до полюса составляет 21 км.
Ещё одна причина, уменьшающая силу тяжести на экваторе - центробежная сила. Наша земля вращается вокруг своей оси быстро, даже быстрее полета реактивного самолета. Центробежная сила действует на тела, расположенные вблизи экватора сильнее, чем на тела, находящиеся на полюсе. Из-за неё компенсируется часть веса тела.
