Решение.
Из условия задачи АВ = ВС, ΔАВС - равнобедренный, тогда медианы AE=СD.
В равнобедренном треугольнике высота BF является и медианой, и биссектрисой. Т.к. точка О - точка пересечения медиан, через которую проходит и BF, то ∠АОС делится пополам. По условию задачи медианы взаимно-перпендикулярны, тогда
∠ АOF = ∠FOC = ∠AOC / 2 = 90° / 2 = 45°
Учитывая, что ∠AFB = 90°, a ∠AOF = 45° ⇒ ∠OAF = 45° , тогда ΔAOF - равнобедренный, т.е. AF = OF
Пусть AF = x, OF = x, BO = 2x, BF = 3x
ΔAFB - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора
АВ² = AF² + BF²
![( \sqrt{10} )^2 = x^{2} + (3x)^2 \\ \\ 10 x^{2} = 10 \\ \\ x=1](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Csqrt%7B10%7D+%29%5E2+%3D++x%5E%7B2%7D+%2B+%283x%29%5E2++%5C%5C++%5C%5C+10+x%5E%7B2%7D+%3D+10++%5C%5C++%5C%5C+x%3D1)
Значит АС = 2AF = 2 *1 = 2, BF = 3 * 1 = 3
Найдем площадь
![S_{ABC} = \frac{1}{2}AC*BF = \frac{1}{2}*2 * 3 = 3](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABC%7D+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DAC%2ABF+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2A2+%2A+3+%3D+3)
кв.ед.
Ответе: S = 3 кв.ед.