Question

Помогите с заданием !
Задание: Найти все первообразные функции!
Вложение!
Огромное спасибо всем кто поможет!
Нужно с 1 по 8

Answer 1

Решение смотри во вложении 

Answer 2

1) $F(x)= \int\limits {[e^{3x+2}-cos(3x)+ \frac{1}{cos^2(3x)}] } \, dx =$
$= \frac{1}{3} \int\limits {[e^{3x+2}-cos(3x)+ \frac{1}{cos^2(3x)}] } \, d(3x) = [t=3x]=$
$= \frac{1}{3} \int\limits {[e^{t+2}-cos(t)+ \frac{1}{cos^2(t)}] } \, dt =$
$= \frac{1}{3}[ \int\limits {e^{t+2}}dt- \int\limits {cos(t)} \, dt+ \int\limits {\frac{1}{cos^2(t)} \, dt ] =$
$= \frac{1}{3}[ \int\limits {e^{t+2}}d(t+2)- \int\limits {cos(t)} \, dt+ \int\limits {\frac{1}{cos^2(t)} \, dt ] =$
$=\frac{1}{3}[e^{t+2}-sin(t)+tg(t)]+ C=\frac{1}{3}[e^{3x+2}-sin(3x)+tg(3x)]+ C$

2) $F(x)= \int\limits {[2e^{4x+ \frac{1}{3} }-3sin( \frac{x}{5} )-ctg( \frac{6x}{5} )}] } \, dx =$
$= 2* \frac{1}{4} \int\limits {e^{4x+ \frac{1}{3} }}d(4x+ \frac{1}{3} )-3*5 \int\limits {sin( \frac{x}{5} )} \, d( \frac{x}{5}) - \frac{5}{6} \int\limits {ctg( \frac{6x}{5} )} \, d( \frac{6x}{5} ) =$
$=\frac{e^{4x+ \frac{1}{3} }}{2}+15cos( \frac{x}{5} ) - \frac{5}{6} \int\limits { \frac{cos(\frac{6x}{5} )}{sin(\frac{6x}{5} )} } \, d( \frac{6x}{5} ) =$
$=\frac{e^{4x+ \frac{1}{3} }}{2}+15cos( \frac{x}{5} ) - \frac{5}{6} \int\limits { \frac{1}{sin(\frac{6x}{5} )} } \, d( sin(\frac{6x}{5} )) =$
$=\frac{e^{4x+ \frac{1}{3} }}{2}+15cos( \frac{x}{5} ) - \frac{5}{6} ln|sin(\frac{6x}{5} )|+C$

3) $F(x)= \int\limits {[3e^{3x- \frac{1}{2} }+3cos( \frac{x}{7} )+ \frac{1}{cos^2( \frac{x}{3} )}] } \, dx =$
$= 3*\frac{1}{3} \int\limits {e^{3x- \frac{1}{2}} \, d(3x- \frac{1}{2})+3* 7\int\limits {cos( \frac{x}{7} )} \, d(\frac{x}{7})+ 3\int\limits { \frac{1}{cos^2( \frac{x}{3} )} } \, d( \frac{x}{3} ) =$
$= e^{3x- \frac{1}{2}}+21sin( \frac{x}{7} )}+ 3tg^2( \frac{x}{3} )$

4) $F(x)= 2\int\limits {x^{ \frac{1}{3} }} \, dx -3 \int\limits {sin(6x-1)} \, dx + \int\limits {cos(2x+ \frac{\pi}{4}) } \, dx$
$=2 *\frac{x^{ 1+\frac{1}{3} }}{1+ \frac{1}{3} } -3* \frac{1}{6} \int\limits {sin(6x-1)} \, d(6x-1) + \frac{1}{2} \int\limits {cos(2x+ \frac{\pi}{4}) } \, d(2x+ \frac{\pi}{4})$
$= \frac{3}{2}x^{ \frac{4}{3}} + \frac{1}{2} cos(6x-1)+ \frac{1}{2} sin(2x+ \frac{\pi}{4}) }$

5) $F(x)= 5\int\limits {x^{ \frac{1}{4} }} \, dx +2 \int\limits {sin(5x+4)} \, dx + \int\limits {ctg(\frac{3x+1}{4}) } \, dx$
$F(x)= 4x^{ \frac{5}{4} } - \frac{2}{5} cos(5x+4)} + \frac{4}{3} ln|sin(\frac{3x+1}{4}))|$

6) $\frac{3}{ \sqrt{5} } \int\limits {x^{ \frac{1}{2} }} \, dx -6 \int\limits {cos( \frac{2x-1}{3} )} \, d(\frac{2x-1}{3} )-4 \int\limits {cos( \frac{x}{4} - \frac{\pi}{2} )} \, d(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{2}) =$
$\frac{2}{ \sqrt{5} } x^{ \frac{3}{2} } -6 sin( \frac{2x-1}{3} )-4sin( \frac{x}{4} - \frac{\pi}{2} )$

7) $\frac{2}{ \sqrt[3]{3} } \int\limits {x^{ \frac{1}{3} }} \, dx +4 \int\limits {sin( \frac{5x-3}{4} )} \, d(\frac{5x-3}{4} )+ \frac{1}{3} \int\limits { \frac{1}{3x-1} } \, d(3x-1) =$
$\frac{ \sqrt[3]{9} }{ 2}* x^{ \frac{4}{3} }} -4* cos( \frac{5x-3}{4} )+ \frac{1}{3}* ln|3x-1|$

8) $F(x)= \int\limits {[\frac{3}{ \sqrt[3]{2x-1} } + \frac{2}{1-5x}+e^{\frac{2x-1}{5}} ]} \, dx =$
$=3 \int\limits {\frac{1}{ \sqrt[3]{2x-1} } \, dx + 2 \int\limits {\frac{1}{1-5x}} \, dx + \int\limits {e^{\frac{2x-1}{5}} } \, dx=$
$= \frac{3}{2} \int\limits {(2x-1)^ {-\frac{1}{3} } \, d(2x-1) - \frac{2}{5} \int\limits {\frac{1}{5x-1}} \, d(5x-1) + \frac{5}{2} \int\limits {e^{\frac{2x-1}{5}} } \, d(\frac{2x-1}{5}} )$
$= (2x-1)^ {\frac{2}{3} } - \frac{2}{5} ln|5x-1| + \frac{5}{2} e^{\frac{2x-1}{5}}$