1)52*6=312 (км) -пройдёт 1 поезд за 6ч.
2)60*6=360 (км)- пройдёт 2 поезд за 6ч
3)739-(312+360)=67 (км) станет между ними через 6 часов
Sin a = 1/3
cos a = кв.корень из (1 -sin^2 a) = кв.корень из (1-1/9) = кв.корень из 8/9,
cos a = 2/3*кв.корень из2
Sqrt(61^- 60^) = Sqrt((61 - 60)*(61 + 60)) = Sqrt(1 * 121) = Sqrt(121) = 11
База индукции
при n=1 тождество верно
![sin x=\frac{sin \frac{(1+1)x}{2}*sin \frac{1*x}{2}}{sin \frac{x}{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x%3D%5Cfrac%7Bsin+%5Cfrac%7B%281%2B1%29x%7D%7B2%7D%2Asin+%5Cfrac%7B1%2Ax%7D%7B2%7D%7D%7Bsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D)
Гипотеза индукции
Пусть тождество верно при натуральном n=k
Индукционный переход
Докажем что тогда тождество верно и при n=k+1
![sin x+sin 2x+...sin kx+sin(k+1)x=](https://tex.z-dn.net/?f=sin+x%2Bsin+2x%2B...sin+kx%2Bsin%28k%2B1%29x%3D)
<span>используем гипотезу индукции </span>
![=\frac{sin\frac{(k+1)x}{2}*sin \frac{kx}{2}}{sin \frac{x}{2}}+sin(k+1)x=](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7Bsin%5Cfrac%7B%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%2Asin+%5Cfrac%7Bkx%7D%7B2%7D%7D%7Bsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%2Bsin%28k%2B1%29x%3D)
![\frac{sin\frac{(k+1)x}{2}*sin \frac{kx}{2}+sin(k+1)xsin\frac{x}{2}}{sin \frac{x}{2}}=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bsin%5Cfrac%7B%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%2Asin+%5Cfrac%7Bkx%7D%7B2%7D%2Bsin%28k%2B1%29xsin%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%7Bsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%3D)
использовали формулу синуса двойного угла и вынесли общий множитель за скобки
![\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(sin \frac{kx}{2}+2cos \frac{(k+1)x}{2}sin \frac{x}{2})=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bsin%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%7D%7Bsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%2A%28sin+%5Cfrac%7Bkx%7D%7B2%7D%2B2cos+%5Cfrac%7B%28k%2B1%29x%7D%7B2%7Dsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%29%3D)
используем формулу умножения синуса на косинус
![\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(sin \frac{kx}{2}+sin (\frac{x}{2}- \frac{(k+1)x}{2})+sin (\frac{x}{2}+\frac{(k+1)x}{2}))=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bsin%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%7D%7Bsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%2A%28sin+%5Cfrac%7Bkx%7D%7B2%7D%2Bsin+%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D-+%5Cfrac%7B%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%29%2Bsin+%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%29%29%3D)
обычные преобразования дробей
![\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(sin \frac{kx}{2}+sin (\frac{-kx}{2})+\sin \frac{(k+2)x}{2})=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bsin%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%7D%7Bsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%2A%28sin+%5Cfrac%7Bkx%7D%7B2%7D%2Bsin+%28%5Cfrac%7B-kx%7D%7B2%7D%29%2B%5Csin+%5Cfrac%7B%28k%2B2%29x%7D%7B2%7D%29%3D)
используем нечетность синуса
![\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(sin \frac{kx}{2}-sin (\frac{kx}{2})+\sin \frac{(k+2)x}{2})=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bsin%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%7D%7Bsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%2A%28sin+%5Cfrac%7Bkx%7D%7B2%7D-sin+%28%5Cfrac%7Bkx%7D%7B2%7D%29%2B%5Csin+%5Cfrac%7B%28k%2B2%29x%7D%7B2%7D%29%3D)
получаем нужное равенство для n=k+1
![\frac{\frac{sin(k+1)x}{2}}{sin \frac{x}{2}}*(\sin \frac{(k+2)x}{2})=](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bsin%28k%2B1%29x%7D%7B2%7D%7D%7Bsin+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%7D%2A%28%5Csin+%5Cfrac%7B%28k%2B2%29x%7D%7B2%7D%29%3D)
По приниципу математической индукции тождество верно для любого натурального значения числа n