Question

Число 32 разложите на два положительных множителя так,чтобы сумма первого множителя и квадратного корня из второго множителя была наименьшей

Answer 1

Пусть х - второй множитель, тогда $32:x$ - первый множитель(x>0). Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{32}{x}+\sqrt{x}, x>0$
Будем искать ее наименьшее значение

Производная функции
$f'(x)=-\frac{32}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Критические точки
$f'(x)=0$
$-\frac{32}{x^2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=0$
$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{32}{x^2}$
$1*x^2=32*2\sqrt{x}$
$(\sqrt{x})^3=64=4^3$
$\sqrt{x}=4$
$x=4^2=16$ - критическая точка - разбивает на два промежутка сохранения знака у производной функции $(0;16)$
и
$(16;+\infty)$
так как для точки $0<4<16$
$f'(x)=-\frac{32}{4^2}+\frac{1}{2*\sqrt{4}}=-2+\frac{1}{4}<0$
то на всем промежутке $(0;16)$:$f'(x)<0$
и функция спадает на єтом промежутке
так как для точки $x=25>16$
$f'(x)=-\frac{32}{25^2}+\frac{1}{2\sqrt{25}}>0$
и функция возростает на єтом промежутке
стало быть х=16- точка минимума

а значит искомые множители 16 -второй и 32:16=2 - первый
отвте: 2 и 16

Answer 2

2 и 16;
2 + корень 16 = 6