Рассмотрим функцию
![f(x)=\sqrt{x}.](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Csqrt%7Bx%7D.)
Это возрастающая функция, но чем правее, тем она растет медленнее, поскольку
![f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%7D%7D)
с ростом x убывает. Значит, при возрастании аргумента с 5 до 7 (на 2 единицы) функция увеличится больше, чем при возрастании аргумента с 11 до 13 ( на те же 2 единицы). Вывод:
![\sqrt{7}-\sqrt{5}\ \textgreater \ \sqrt{13}-\sqrt{11}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B7%7D-%5Csqrt%7B5%7D%5C+%5Ctextgreater+%5C+%5Csqrt%7B13%7D-%5Csqrt%7B11%7D)
.
Если такими методами пользоваться нельзя, произведем несколько преобразований, не изменяющих знак между левой и правой частями.
<span>
![\sqrt{7}-\sqrt{5}\ \ ?\ \ \sqrt{13}-\sqrt{11}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B7%7D-%5Csqrt%7B5%7D%5C+%5C%C2%A0+%3F%5C+%5C+%5Csqrt%7B13%7D-%5Csqrt%7B11%7D)
;
</span>
возводим в квадрат:
![7-2\sqrt{35}+5 \ ? \ 13-2\sqrt{143}+11; \ 2\sqrt{143} \ ? \ 2\sqrt{35}+12;](https://tex.z-dn.net/?f=7-2%5Csqrt%7B35%7D%2B5+%5C+%3F+%5C+13-2%5Csqrt%7B143%7D%2B11%3B+%5C+2%5Csqrt%7B143%7D+%5C+%3F+%5C+2%5Csqrt%7B35%7D%2B12%3B)
![\sqrt{143}\ ? \ \sqrt{35}+6;\ 143\ ? \ 35+12\sqrt{35}+36;\ 72 \ ? \ 12\sqrt{35};\ 6 \ ? \ \sqrt{35};](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B143%7D%5C+%3F+%5C+%5Csqrt%7B35%7D%2B6%3B%5C+143%5C+%3F+%5C+35%2B12%5Csqrt%7B35%7D%2B36%3B%5C+72+%5C+%3F+%5C+12%5Csqrt%7B35%7D%3B%5C+%0A6+%5C+%3F+%5C+%5Csqrt%7B35%7D%3B+)
еще одно возведение в квадрат приводит к очевидному неравенству
![36\ \textgreater \ 35.](https://tex.z-dn.net/?f=36%5C+%5Ctextgreater+%5C+35.)
Значит, во всех местах, можно заменить знак вопроса на знак больше