Question

Парабола касается прямых и . Найдите p и q.

Answer 1

Парабола и ее производная
у=x^2+px+q
y`=2x+p
********
прямая 1 и ее производная
y=5x+1
y`=5
********
x1;y1 - точка касания прямой 1 и параболы
2*x1+p=5
y1=5*x1+1
у1=x1^2+p*x1+q
********
прямая 2 и ее производная
y=-x-2
y`=-1
********
x2;y2 - точка касания прямой 2 и параболы
2*x2+p=-1
y2=-x2-2
у2=x2^2+p*x2+q
*****************
собираем в систему 6 уравнений
2*x1+p=5
y1=5*x1+1
у1=x1^2+p*x1+q
2*x2+p=-1
y2=-x2-2
у2=x2^2+p*x2+q
*****************
так как y1 и y2 нас не интересуют - исключаем их
2*x1+p=5
5*x1+1=x1^2+p*x1+q
2*x2+p=-1
-x2-2=x2^2+p*x2+q
*****************
так как x1 и x2 нас не интересуют - исключаем их
x1=(5-p)/2
x1^2+(p-5)*x1+q-1=0
x2=(-1-p)/2
x2^2+(p+1)*x2+q+2=0
*****************
((5-p)/2)^2+(p-5)*(5-p)/2+q-1=0
((-1-p)/2)^2+(p+1)*(-1-p)/2+q+2=0
*****************
q-1=(p-5)^2/4
q+2=(p+1)^2/4
*****************
q=(p-5)^2/4+1
q=(p+1)^2/4-2
*****************
q=(p-5)^2/4+1
(p-5)^2/4+1=(p+1)^2/4-2
*****************
q=(p-5)^2/4+1
(p-5)^2+12=(p+1)^2
*****************
q=(p-5)^2/4+1
p^2-10p+25+12=p^2+2p+1
*****************
q=(p-5)^2/4+1
36=12p
*****************
p=3
q=(3-5)^2/4+1=1
*****************
p=3
q=1