ОДЗ: x не= (п/2)+п*n, n целое и
x не= п*m, m целое.
tg^4x + ctg^4x = tg^4x + ctg^4x + 2 - 2 = (tg^4x + ctg^4x + 2*tg^2x*ctg^2x) -2= (tg^2x + ctg^2x)^2 -2 = (tg^2x + ctg^2x + 2 - 2)^2 -2 =
= ( (tgx+ctgx)^2 - 2)^2 -2;
положим (tgx+ctgx)^2 = t,
тогда
tg^4x + ctg^4x = ( t -2)^2 -2;
и
9*[ (t-2)^2 - 2] = 15*t + 2;
9*( t^2 - 4t + 4 - 2 ) = 15*t + 2;
9*t^2 - 36*t + 18 = 15t +2;
9*t^2 - (36+15)*t + 16 = 0;
9t^2 - 51t + 16 = 0;
D = 51^2 - 4*9*16 = 2601 - 576 = 2025 = 45^2;
t1 = (51-45)/18 = 6/18 = 1/3;
t2 = (51+45)/18 = 96/18 = 48/9 = 16/3.
1). (tgx + ctgx)^2 = 1/3;
tg^2 + (1/tgx)^2 + 2 = 1/3;
tg^2 + (1/tgx)^2 + 5/3 = 0;
3*tg^4(x) + 3 + 5*tg^2(x) = 0;
3*tg^4(x) + 5*tg^2(x) + 3 = 0; положим z=tg^2(x),
3*z^2 + 5z + 3 = 0;
D = 25 - 4*3*3 = 25 - 36<0; решений нет.
2) (tgx + ctgx)^2 = 16/3;
tg^2x + (1/tg^2x) + 2 = 16/3;
tg^2x + (1/tg^2x) + [ (6 - 16)/3] = 0;
tg^2x + (1/tg^2x) - (10/3) = 0;
3*tg^4x + 3 - 10*tg^2 = 0; положим tg^2x = z;
3z^2 - 10z + 3 = 0;
D = 100 - 4*3*3 = 10 - 36 = 64 = 8^2;
z1 = (10-8)/6 = 2/6 = 1/3;
z2 = (10+8)/6 = 18/6 = 3.
2.1) tg^2x = 1/3;
tgx = 1/(sqrt(3)) или tg(x) = -1/sqrt(3).
x1 =
2.2) tg^2x = 3;
tgx = sqrt(3) или tg(x) = -sqrt(3).
От нуля до 2п, это один оборот вокруг единичной окружности, посмотри прикрепленный рисунок на нем выделены решения, а также линия тангенсов. По рисунку видно, что решений 8.
Из 1т тонны получается 1*0,16=0,16т сухих яблок
составляем пропорции
1- 0,16
х- 4
х= 4*1/0,16=25т нужно свежих яблок для получения 4т сушеных
1 -0,16
4,5-х
х=0,16*4,5/1=0,72т =720кг получится из 4,5тонн
Пусть a = x/2
sin(x) = 2sin(a)cos(a);
cos(x) = cos^2(a) - sin^2(a)
1/cos^2(x) = 1 + tg(a)
8sin(x) + cos(x) = 4
8*2sin(a)cos(a) + cos^2(a) - sin^2(a) = 4
Разделим обе части уравнения на cos^2(a):
16*tg(a) + 1 - tg^2(a) = 4*(1 + tg^2(a))
4 tg^2(a) + tg^2(a) + 3 - 16 tg(a) = 0
5 tg^2(a) - 16 tg(a) + 3 =0
D = 16^2 - 4*5*3 = 196 = 14^2
tg(a) = (16 + 14) / 10; tg(a) = (16-14)/10
tg(a) = 3; tg(a) = 1/5;
a = arctg(3) + πn, n∈Z; a = arctg(1/5) + πk, k∈Z
x/2 = arctg(3) + πn, n∈Z; x/2 = arctg(1/5) + πk, k∈Z;
x = 2 arctg(3) + 2 πn, n∈Z; x = arctg(1/5) + 2 πk, k∈Z;
Ответ: 2 arctg(3) + 2 πn, n∈Z; arctg(1/5) + 2 πk, k∈Z;
Неверное неравенство 5м2дм<50дм