Question

20 баллов за ответ
Задача 5 Человек массой 80 кг качается на качелях. Амплитуда его колебания 1 м. За 1 мин он совершает 15 колебаний. Найти кинетическую и потенциальную энергию через 1/12 периода.

Answer 1

Немного неоднозначная задача, нужно найти кинетическую и потенциальную энергию, хотя не сказано с какого именно положения нужно вести отсчет времени. Я выберу это положение сам.

И еще вопрос, что понимается под амплитудой колебаний? Пусть это будет максимальной высотой подъема тела (#)

По закону сохранения энергии

$mgh=mg*x(t)+mx'(t)^2*1/2$ (*)

где

h - амплитуда, т.е. максимальная высота подъема качели

x(t) - высота качели как ф-я времени

x'(t) - соотв. скорость качели как ф-я времени

(таким образом в правой части имеем потенциальную и кинетическую энергии)

Поставим начальное условие x(0)=0, т.е. пусть в начальный момент времени человек находился в самой нижней точке с макс. кинетической энергией.

Решим ОДУ (*) методом разделения переменных, получим в качестве решения ф-ии

$x(t)=-\frac{49}{10} t^2\pm \frac{7\sqrt{10} }{5} t$

из этих ф-ий выберем ту что с плюсом, т.к. именно ее производная при $t>0$ обращается в нуль, что соответствует моменту остановки качели по достижении макс высоты. Найдем когда именно скорость равна нулю:

$x'(t)=-\frac {49\,t}{5}}+\frac{7\sqrt{10} }{5} =0$

отсюда

$t=\frac{\sqrt{10} }{7}$

Стоит отметить, что это решение описывает движение качели лишь на интервале времени от 0 до половины периода. Но этого нам достаточно, ибо требуется найти энергии при t = 1/12 T (где T-период)

Таким образом значение $T/4=\frac{\sqrt{10} }{7}$ нам теперь известно. Тогда $1/12*T=1/3*(1/4*T)=\frac{\sqrt{10} }{21}$

Значит качели в момент времени $T/12$ были на высоте $x(\frac{\sqrt{10} }{21})=\frac{5}{9}$

Отсюда потенциальная энергия

$U=mgx=80*9.8*5/9=435.6$ (Дж)

И кинетическая энергия

$mgh-mgx=80*9.8*4/9=348.4$ (Дж)

(#) Задачу можно рассматривать и как задачу гармонического осциллятора, т.е. с потенциальной энергией вида $U(x)=1/2*m\omega^2x^2$ заместо типичной $mgx$ В этом случае данная в условии задачи частота будет использоваться (чтоб найти омега) В то же время решение ОДУ будет посложнее, функция сведется к тангенсу или чему-то подобному.

Как именно интерпретировать задачу зависит от интерпретации слова амплитуда. Я выбрал самый простой случай и что-то решил, вполне возможно совсем не то, что хотели бы видеть авторы задачи.