Мальчик бросил вертикально вверх мячик и поймал его через 2 секунды На какую высоту поднялся мячик и какова его начальная скорос
1 ответ:
Читайте также
Шаг 1. Выясняем резонансные частоты.
Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
, полученным из уравнения Кирхгофа введением обозначений: 
, 
. Для выяснения резонансной частоты возьмем вынуждающую силу, изменяющуюся по закону косинуса. 
.
Решение данного уравнения, согласно теории д.у., имеет вид:
, где первое слагаемое - решение с.о.у. (оно затухает и нас не интересует), а второе - произвольное частное решение, которое ищется в указанном виде (в силу особенностей взятой вынуждающей силы). Подставим решение 
в уравнение и (с помощью, например, векторной диаграммы) получим 
.
Зная, что
и 
. Получаем для амплитуды тока и напряжений следующие выражения: 
и 
.
Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте
, а у тока при 
.
Шаг 2. Что такое добротность
Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое![q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi)[\tex] <strong></strong>Условились считать, что колебание затухло, если его амплитуда уменьшилась в e раз. Очевидно, что это произойдёт за время [tex]\tau = \frac{1}{\gamma}](https://tex.z-dn.net/?f=q+%3D+Ae%5E%7B-%5Cgamma+t%7Dcos%28w_c+t+%2B+%5Cphi%29%5B%5Ctex%5D+%3Cstrong%3E%3C%2Fstrong%3E%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%8C+%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%2C+%D1%87%D1%82%D0%BE+%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5+%D0%B7%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%85%D0%BB%D0%BE%2C+%D0%B5%D1%81%D0%BB%D0%B8+%D0%B5%D0%B3%D0%BE+%D0%B0%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%83%D0%B4%D0%B0+%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%8C+%D0%B2+e+%D1%80%D0%B0%D0%B7.+%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE%2C+%D1%87%D1%82%D0%BE+%D1%8D%D1%82%D0%BE+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%B9%D0%B4%D1%91%D1%82+%D0%B7%D0%B0+%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F%C2%A0%5Btex%5D%5Ctau+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D+)
. За это время система совершила 
колебаний, где 
- собственная частота колебаний системы (следует из решения д.у.). Так вот, величина 
называется добротностью контура.
Шаг 3. Накладываем ограничения
Решая это неравенство получаем:
, отсюда 
Шаг 4. Находим добротность
Вообще говоря,
и ![\frac{\omega_0}{2\gamma}[\tex] разные величины, поэтому оценим погрешность, что бы приравнять их с чистой совестью)))) Для этого разложим выражение для добротности, с учётом определения частоты собственных колебаний по формуле Маклорена (в ряд). [tex]Q = \frac{ \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}}{2\gamma} = \frac{\omega_0}{2\gamma} \sqrt{1 - \frac{\gamma^2}{\omega_0^2}} = \frac{\omega_0}{2\gamma} ( 1 - \frac{\gamma^2}{2\omega_0^2} + o(\frac{\gamma^2}{\omega_0^2})) = \frac{\omega_0}{2\gamma} - \frac{\gamma}{4\omega_0} + o(\frac{\gamma}{\omega_0}).](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D%5B%5Ctex%5D+%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D1%8B%D0%B5+%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B%2C+%D0%BF%D0%BE%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%BC%D1%83+%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%BC+%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%2C+%D1%87%D1%82%D0%BE+%D0%B1%D1%8B+%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C+%D0%B8%D1%85+%D1%81+%D1%87%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9+%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%29%29%29%29+%D0%94%D0%BB%D1%8F+%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE+%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BC+%D0%B2%D1%8B%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5+%D0%B4%D0%BB%D1%8F+%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%2C+%D1%81+%D1%83%D1%87%D1%91%D1%82%D0%BE%D0%BC+%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F+%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%82%D1%8B+%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85+%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9+%D0%BF%D0%BE+%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B5+%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0+%28%D0%B2+%D1%80%D1%8F%D0%B4%29.+%5Btex%5DQ+%3D++%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B%5Comega_0%5E2+-+%5Cgamma%5E2%7D%7D%7B2%5Cgamma%7D+%3D++%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D++%5Csqrt%7B1+-++%5Cfrac%7B%5Cgamma%5E2%7D%7B%5Comega_0%5E2%7D%7D+%3D++%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D+%28+1+-++%5Cfrac%7B%5Cgamma%5E2%7D%7B2%5Comega_0%5E2%7D+%2B+o%28%5Cfrac%7B%5Cgamma%5E2%7D%7B%5Comega_0%5E2%7D%29%29+%3D+%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D++-++%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B4%5Comega_0%7D+%2B+o%28%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Comega_0%7D%29.)
Таким образом, отличие истинного решения от полученного примерно 0.03.
Ответ:
P.S. Что касается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверное, можно найти результат более точно, но это потребует лишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.
Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
Решение данного уравнения, согласно теории д.у., имеет вид:
Зная, что
Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте
Шаг 2. Что такое добротность
Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое
Шаг 3. Накладываем ограничения
Решая это неравенство получаем:
Шаг 4. Находим добротность
Вообще говоря,
Ответ:
P.S. Что касается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверное, можно найти результат более точно, но это потребует лишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.