Question

Найдите сумму всех действительных корней уравнения (1+x+x^2)(1+x+…+x^10)=(1+x+…+x^6)^2.
Подсказка:

Подумайте, как можно решить это уравнение не раскрывая скобок.

Answer 1

Очевидно, что в скобках это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=x$.Т.е.
Для каждой скобки вычисляя сумму первых n членов, получим

$1+x+x^2= \dfrac{b_1(1-q^3)}{1-q} = \dfrac{1-x^3}{1-x} \\ \\ 1+x+...+x^{10}= \dfrac{b_1(1-q^{10})}{1-q} =\dfrac{1-x^{10}}{1-x} \\ \\ 1+x+...+x^6= \dfrac{b_1(1-q^7)}{1-q} = \dfrac{1-x^7}{1-x}$

Подставив в исходное уравнение, получим $\dfrac{(1-x^3)(1-x^{11})}{(1-x)^2}= \dfrac{(1-x^7)^2}{(1-x)^2}$
$(1-x^3)(1-x^{11})=(1-x^7)^2\\ 1-x^{11}-x^3+x^{14}=1-2x^7+x^{14}\\ x^{11}-2x^7+x^3=0\\ x^3(x^8-2x^4+1)=0\\ x^3(x^4-1)^2=0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, т.е.
$x_1=0\\ x_{2,3}=\pm1$

Корень х = 1 - посторонний (так как знаменатель обращается в 0)

Сумма всех действительных корней равна 0 - 1 = -1

Ответ: -1.