Шаг 1.
Выясняем резонансные частоты.
Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка:
![q'' + 2 \gamma q' + \omega_0^2 q = e(t)](https://tex.z-dn.net/?f=q%27%27+%2B+2+%5Cgamma+q%27+%2B+%5Comega_0%5E2+q+%3D+e%28t%29)
, полученным из уравнения Кирхгофа введением обозначений:
![\gamma = \frac{R}{2L}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cgamma+%3D++%5Cfrac%7BR%7D%7B2L%7D+)
,
![\omega_0 = \frac{1}{ \sqrt{LC}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega_0+%3D+++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7BLC%7D%7D+)
. Для выяснения резонансной частоты возьмем вынуждающую силу, изменяющуюся по закону косинуса.
![e(t) = \frac{E_0}{L} cos(\omega t)](https://tex.z-dn.net/?f=e%28t%29+%3D++%5Cfrac%7BE_0%7D%7BL%7D+cos%28%5Comega+t%29)
.
Решение данного уравнения, согласно теории д.у., имеет вид:
![q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi) + B cos(\omega t + \psi)](https://tex.z-dn.net/?f=q+%3D+Ae%5E%7B-%5Cgamma+t%7Dcos%28w_c+t+%2B+%5Cphi%29+%2B+B+cos%28%5Comega+t+%2B+%5Cpsi%29)
, где первое слагаемое - решение с.о.у. (оно затухает и нас не интересует), а второе - произвольное частное решение, которое ищется в указанном виде (в силу особенностей взятой вынуждающей силы). Подставим решение
![q=B cos(\omega t + \psi)](https://tex.z-dn.net/?f=q%3DB+cos%28%5Comega+t+%2B+%5Cpsi%29)
в уравнение и (с помощью, например, векторной диаграммы) получим
![B = \frac{E_0}{L} \frac{1}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2}}](https://tex.z-dn.net/?f=B+%3D++%5Cfrac%7BE_0%7D%7BL%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%28%5Comega_0%5E2+-+%5Comega%5E2%29%5E2+%2B+4+%5Cgamma%5E2+%5Comega%5E2%7D%7D+)
.
Зная, что
![I(t) = q'(t) = - B \omega sin(\omega t +\psi)](https://tex.z-dn.net/?f=I%28t%29+%3D+q%27%28t%29+%3D+-+B+%5Comega+sin%28%5Comega+t+%2B%5Cpsi%29)
и
![U(t) = \frac{q(t)}{C}](https://tex.z-dn.net/?f=U%28t%29+%3D++%5Cfrac%7Bq%28t%29%7D%7BC%7D+)
. Получаем для амплитуды тока и напряжений следующие выражения:
![U = \frac{E_0}{LC \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2}}](https://tex.z-dn.net/?f=U+%3D+%5Cfrac%7BE_0%7D%7BLC+%5Csqrt%7B%28%5Comega_0%5E2+-+%5Comega%5E2%29%5E2+%2B+4+%5Cgamma%5E2+%5Comega%5E2%7D%7D+)
и
![I = \frac{E_0 \omega}{LC \omega \sqrt{((\frac{\omega_0}{\omega})^2 - 1)^2 + 4\gamma^2}} = \frac{E_0}{LC \sqrt{((\frac{\omega_0}{\omega})^2 - 1)^2 + 4\gamma^2}}](https://tex.z-dn.net/?f=I+%3D++%5Cfrac%7BE_0+%5Comega%7D%7BLC+%5Comega++%5Csqrt%7B%28%28%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B%5Comega%7D%29%5E2++-+1%29%5E2+%2B+4%5Cgamma%5E2%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7BE_0%7D%7BLC++%5Csqrt%7B%28%28%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B%5Comega%7D%29%5E2++-+1%29%5E2+%2B+4%5Cgamma%5E2%7D%7D)
.
Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте
![\omega_u = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega_u+%3D++%5Csqrt%7B%5Comega_0%5E2+-+2%5Cgamma%5E2%7D+)
, а у тока при
![\omega_i = \omega_0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega_i+%3D+%5Comega_0)
.
Шаг 2.
Что такое добротность
Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое
![q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi)[\tex] <strong></strong>Условились считать, что колебание затухло, если его амплитуда уменьшилась в e раз. Очевидно, что это произойдёт за время [tex]\tau = \frac{1}{\gamma}](https://tex.z-dn.net/?f=q+%3D+Ae%5E%7B-%5Cgamma+t%7Dcos%28w_c+t+%2B+%5Cphi%29%5B%5Ctex%5D+%3Cstrong%3E%3C%2Fstrong%3E%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D1%81%D1%8C+%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%2C+%D1%87%D1%82%D0%BE+%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5+%D0%B7%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%85%D0%BB%D0%BE%2C+%D0%B5%D1%81%D0%BB%D0%B8+%D0%B5%D0%B3%D0%BE+%D0%B0%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%83%D0%B4%D0%B0+%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%8C+%D0%B2+e+%D1%80%D0%B0%D0%B7.+%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE%2C+%D1%87%D1%82%D0%BE+%D1%8D%D1%82%D0%BE+%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%BE%D0%B9%D0%B4%D1%91%D1%82+%D0%B7%D0%B0+%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F%C2%A0%5Btex%5D%5Ctau+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D+)
. За это время система совершила
![N = \frac{\tau}{T_c} = \frac{\omega_c}{2 \pi \gamma}](https://tex.z-dn.net/?f=N+%3D+%5Cfrac%7B%5Ctau%7D%7BT_c%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Comega_c%7D%7B2+%5Cpi+%5Cgamma%7D+)
колебаний, где
![\omega_c = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Comega_c+%3D+++%5Csqrt%7B%5Comega_0%5E2+-+%5Cgamma%5E2%7D+)
- собственная частота колебаний системы (следует из решения д.у.). Так вот, величина
![Q = \pi N = \frac{\omega_c}{2 \gamma}](https://tex.z-dn.net/?f=Q+%3D+%5Cpi+N+%3D+++%5Cfrac%7B%5Comega_c%7D%7B2+%5Cgamma%7D+)
называется
добротностью контура.
Шаг 3.
Накладываем ограничения
![\frac{\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} }{\sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}} \leq 0.01](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Comega_0+-++%5Csqrt%7B%5Comega_0%5E2+-+2%5Cgamma%5E2%7D+%7D%7B%5Csqrt%7B%5Comega_0%5E2+-+2%5Cgamma%5E2%7D%7D++%5Cleq++0.01)
Решая это неравенство получаем:
![\frac{\gamma^2}{\omega_0^2} \leq 0.009851975](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Cgamma%5E2%7D%7B%5Comega_0%5E2%7D++%5Cleq+0.009851975)
, отсюда
![\frac{\omega_0}{2\gamma} \geq 5.04](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D++%5Cgeq+5.04)
Шаг 4. Находим добротность
Вообще говоря,
![Q = \frac{\omega_c}{2 \gamma}](https://tex.z-dn.net/?f=Q+%3D+%5Cfrac%7B%5Comega_c%7D%7B2+%5Cgamma%7D+)
и
![\frac{\omega_0}{2\gamma}[\tex] разные величины, поэтому оценим погрешность, что бы приравнять их с чистой совестью)))) Для этого разложим выражение для добротности, с учётом определения частоты собственных колебаний по формуле Маклорена (в ряд). [tex]Q = \frac{ \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}}{2\gamma} = \frac{\omega_0}{2\gamma} \sqrt{1 - \frac{\gamma^2}{\omega_0^2}} = \frac{\omega_0}{2\gamma} ( 1 - \frac{\gamma^2}{2\omega_0^2} + o(\frac{\gamma^2}{\omega_0^2})) = \frac{\omega_0}{2\gamma} - \frac{\gamma}{4\omega_0} + o(\frac{\gamma}{\omega_0}).](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D%5B%5Ctex%5D+%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D1%8B%D0%B5+%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B%2C+%D0%BF%D0%BE%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%BC%D1%83+%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%BC+%D0%BF%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%2C+%D1%87%D1%82%D0%BE+%D0%B1%D1%8B+%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D1%82%D1%8C+%D0%B8%D1%85+%D1%81+%D1%87%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9+%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%29%29%29%29+%D0%94%D0%BB%D1%8F+%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE+%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BC+%D0%B2%D1%8B%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5+%D0%B4%D0%BB%D1%8F+%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%2C+%D1%81+%D1%83%D1%87%D1%91%D1%82%D0%BE%D0%BC+%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F+%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%82%D1%8B+%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85+%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9+%D0%BF%D0%BE+%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B5+%D0%9C%D0%B0%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B0+%28%D0%B2+%D1%80%D1%8F%D0%B4%29.+%5Btex%5DQ+%3D++%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B%5Comega_0%5E2+-+%5Cgamma%5E2%7D%7D%7B2%5Cgamma%7D+%3D++%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D++%5Csqrt%7B1+-++%5Cfrac%7B%5Cgamma%5E2%7D%7B%5Comega_0%5E2%7D%7D+%3D++%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D+%28+1+-++%5Cfrac%7B%5Cgamma%5E2%7D%7B2%5Comega_0%5E2%7D+%2B+o%28%5Cfrac%7B%5Cgamma%5E2%7D%7B%5Comega_0%5E2%7D%29%29+%3D+%5Cfrac%7B%5Comega_0%7D%7B2%5Cgamma%7D++-++%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B4%5Comega_0%7D+%2B+o%28%5Cfrac%7B%5Cgamma%7D%7B%5Comega_0%7D%29.)
Таким образом, отличие истинного решения от полученного примерно 0.03.
Ответ:
![Q \ \textgreater \ 5](https://tex.z-dn.net/?f=Q+%5C+%5Ctextgreater+%5C++5)
P.S. Что касается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверное, можно найти результат более точно, но это потребует лишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.