Question

Имеются гирьки массой 1 г, 2 г, 3 г, 4 г..., 24г.
1) можно ли их разложить на 15 кучек, равных по массе?
2) можно ли их разложить на 5 кучек, равных по массе?
3) на сколько равных по массе кучек можно разложить гирьки?

Answer 1

Сумма весов всех гирек равна 1 + 2 + 3 + ... + 24 = 24 * 25 / 2 = 12 * 25.

1) Если можно разложить на 15 кучек, то в каждой кучке 12 * 25 / 15 = 20 г. Но тогда некуда положить гирьки массой 21, 22, 23, 24 г. Поэтому на 15 кучек разложить нельзя.

2) Тут в каждой кучке должно получиться 12 * 25 / 5 = 60 г. Разложить можно, например, так:
24 + 23 + 13
22 + 21 + 17
20 + 19 + 18 + 3
16 + 15 + 14 + 12 + 2 + 1
11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4

3) Аналогично пункту 1) можно доказать, что кучек не более 12 (если всего кучек n, то в каждой 12 * 25/n и это должно быть не меньше 24).
Кроме того, очевидно, что число кучек должно быть делителем общей массы гирек, выраженной в граммах.
Поэтому число кучек может быть одним из этих чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12.

Проверяем:
12 кучек (в каждой по 25 г): в первой 24 и 1, во второй 23 и 2, в третьей 22 и 3, ..., в двенадцатой 13 и 12.
10 кучек (в каждой по 30 г): в первой 24, 6; во второй 23, 7; в третьей 22, 8; в четвертой 21, 9; в пятой 20, 10; в шестой 19, 11; в седьмой 18, 12; в восьмой 17, 13; в девятой 16, 14; в десятой остальное.
6 кучек: берем две кучки по 25 г
5 кучек: берем две кучки по 30 г
4 кучки: берем 3 кучки по 25 г
3 кучки: берем 4 кучки по 25 г
2 кучки: берем 6 кучек по 25 г
1 кучка: очевидно, можно.

Итак, можно собрать 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 или 12 кучек.