Question

Найти экстремум функции: 6x²-7xy+2y²+6x-3y

Answer 1

Насколько я понял x и y независмые переменные (т.е. y - не функция от x), тогда:

найдем $d, d^2$

$d(6x^2 -7xy+2y^2+6x-3y) = (12x-7y+6)dx + (-7x +4y-3)dy\\\\d^2(6x^2 -7xy+2y^2+6x-3y)=d((12x-7y+6)dx + (-7x +4y-3)dy)=12dx^2 +(-7-7)dxdy +4dy^2 = 12dx^2 -14dxdy +4dy^2$

в точке экстремума дифференциал должен быть равен 0

Находим точки подозрительные на экстремум:

$\left \{ {{12x-7y+6=0} \atop {-7x +4y-3=0}} \right.$

Получаем решения $x=3,y=6$

Теперь смотрим на матрицу второго дифференциала

$\left(\begin{array}{ccc}12&-7\\-7&4\end{array}\right)$

Она отрицательно опрделенная, т.к. $12 > 0, \left|\begin{array}{ccc}12&-7\\-7&4\end{array}\right| = 48 - 49 = -1 < 0$

Значит x=3, y=6 - точка экстремума, а точнее точка максимума