Question

Дана система уравнений: 2√х+√у=√ху 4х+у=32 решить с помощью замены переменной (помогите)

Answer 1

Пусть √х = a, √у = b, по ОДЗ: х≥0, у≥0, следовательно и a, и b ≥ 0

2a+b=ab
4a²+b²=32

2a+b=ab
4a²+b²+4ab-4ab=32

2a+b=ab
(2a+b)²=32+4ab

Подставим первое выражение во второе:
(ab)²=32+4ab
(ab)²-4ab-32=0
По теореме Виетта: ab=8 и ab=-4 (не подходит, так как a и b ≥ 0, и следовательно их перемножение даст число ≥ 0)

ab=8

Из первого выражения получаем, что b=ab-2a=8-2a
Подставим во второе: 4a²+(8-2a)²=32
4a²+64-32a+4a²=32
8a²-32a+32=0
a²-4a+4=0
(a-2)²=0
a=2, следовательно b=8-2*2=4

√х=2 => x=2²=4
√у=4 => y=4²=16

Ответ: (4;16)