![\sqrt{ab}=\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac{a+b}2\\ 2500ab=576(a+b)^2\\ 576a^2-1348ab+576b^2=0\\ 144a^2-337ab+144b^2=0\\ 144\left(\dfrac ab\right)^2-337\cdot\dfrac ab+144=0\\ x=\dfrac ab:~144x^2-337x+144=0\\ D=337^2-4\cdot144^2=337^2-288^2=49\cdot625=175^2\\ x=\dfrac{337\pm175}{288}\\ x_1=\dfrac9{16},~x_2=\dfrac{16}9](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Bab%7D%3D%5Cdfrac%7B24%7D%7B25%7D%5Ccdot%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D2%5C%5C%0A2500ab%3D576%28a%2Bb%29%5E2%5C%5C%0A576a%5E2-1348ab%2B576b%5E2%3D0%5C%5C%0A144a%5E2-337ab%2B144b%5E2%3D0%5C%5C%0A144%5Cleft%28%5Cdfrac+ab%5Cright%29%5E2-337%5Ccdot%5Cdfrac+ab%2B144%3D0%5C%5C%0Ax%3D%5Cdfrac+ab%3A~144x%5E2-337x%2B144%3D0%5C%5C%0AD%3D337%5E2-4%5Ccdot144%5E2%3D337%5E2-288%5E2%3D49%5Ccdot625%3D175%5E2%5C%5C%0Ax%3D%5Cdfrac%7B337%5Cpm175%7D%7B288%7D%5C%5C%0Ax_1%3D%5Cdfrac9%7B16%7D%2C~x_2%3D%5Cdfrac%7B16%7D9)
Итак, a и b относятся как 16 и 9 (или наоборот), т.е. равны 16k и 9k.
16k двузначное при
![1\leqslant k\leqslant6](https://tex.z-dn.net/?f=1%5Cleqslant+k%5Cleqslant6)
, 9k двузначное при
![2\leqslant k \leqslant 11](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cleqslant+k+%5Cleqslant+11)
. Значит, подходят
![2\leqslant k\leqslant 6](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Cleqslant+k%5Cleqslant+6)
.
Все пары (a, b):
k = 2: (32, 18), (18, 32)
k = 3: (48, 27), (27, 48)
k = 4: (64, 36), (36, 64)
k = 5: (80, 45), (45, 80)
k = 6: (96, 54), (54, 96)
Среднее геометрическое
![\sqrt{16k\cdot9k}=12k](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B16k%5Ccdot9k%7D%3D12k)
максимально при наибольшем k,
![12\cdot k_{max}=12\cdot6=72](https://tex.z-dn.net/?f=12%5Ccdot+k_%7Bmax%7D%3D12%5Ccdot6%3D72)
Ответ: 72.