Question

Решить уравнение: y'-xy=e^x
Вычислить интеграл: ∫cos^4 xdx
∫(dx)/(cos^2(7x-3)
ЛОДУ: y'''-2'+y=sin x

Пожалуйста, помогите, буду благодарна.

Answer 1

1) y' - xy = e^x
Неоднородное уравнение 1 порядка. Замена y = u*v, y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - x*u*v = e^x
u'*v + u*(v' - x*v) = e^x
Скобку приравниваем к 0
v' - x*v = 0
Уравнение с разделяющимися переменными
dv/dx = x*v
dv/v = dx*x
ln |v| = x^2/2
v = e^(x^2/2)
Получилось уравнение
u'*v + u*0 = e^x
u' = e^x / v = e^x / e^(x^2/2) = e^(x - x^2/2)
u' = e^(x - x^2/2)
Однако, этот интеграл в элементарных функциях не берется.
Но вообще он очень похож на интеграл Лапласа:
Ф(x) = $\frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \int {e^{-x^2/2}} \, dx$
В итоге
$y=u*v=e^{x^2/2}* \int {e^{x - x^2/2}} \, dx$

2) $\int {cos^4(x)} \, dx = \int {(cos^2(x))^2} \, dx=\int {( \frac{1+cos(2x)}{2} )^2} \, dx=$
$= \frac{1}{4} \int {(1+cos(2x))^2} \, dx= \frac{1}{4}\int {(1+2cos(2x)+cos^2(2x))} \, dx=$
$\frac{1}{4} (x+ sin(2x)+ \int { \frac{1+cos(4x)}{2} } \, dx)=\frac{x}{4}+ \frac{1}{4}sin(2x)+ \frac{1}{8} \int {(1+cos(4x))} \, dx$
$=\frac{x}{4}+ \frac{1}{4}sin(2x)+ \frac{1}{8}(x+ \frac{1}{4}sin(4x) )= \frac{3x}{8} + \frac{1}{4} sin(2x)+ \frac{1}{32} sin(4x)+C$

3) $\int { \frac{dx}{cos^2(7x-3)} }= \frac{1}{7}*tg(7x-3)$
Это совсем простой табличный интеграл.

4) Тут я не понял, что такое 2' + y ?