Question

Ненулевые числа а,b удовлетворяют условиям: 6a+6b=25/a+25/b=25. Чем может равняться значение выражения: a/b+b/a?

Answer 1

Решаем систему
{ 6a + 6b = 25
{ 25/a + 25/b = 25
Делим 1 уравнение на 6, а 2 уравнение на 25
{ a + b = 25/6
{ 1/a + 1/b = 1
Получаем
(a + b)/(ab) = 1
a + b = ab = 25/6
Из равенства a + b = ab получаем b(a - 1) = a, то есть 
b = a/(a - 1).
Подставляем
a + a/(a - 1) = 25/6
6a(a - 1) + 6a = 25(a - 1)
6a^2 - 6a + 6a - 25a + 25 = 0
6a^2 - 25a + 25 = 0
D = 25^2 - 4*6*25 = 25*(25 - 24) = 25 = 5^2
a1 = (25 - 5)/12 = 20/12 = 5/3; b1 = 25/6 - a = 25/6 - 5/3 = 15/6 = 5/2
a2 = (25 + 5)/12 = 30/12 = 5/2; b2 = 25/6 - a = 25/6 - 5/2 = 10/6 = 5/3
Итак, числа а и b равны 5/2 и 5/3.
a/b + b/a = (5/2):(5/3) + (5/3):(5/2) = 5/2*3/5 + 5/3*2/5 = 3/2 + 2/3 = 13/6