Question

Исследовать сходимость рядов

Answer 1

1. Используется метод сравнения:

Сравним данный ряд с гармоническим:

Очевидно, что при всех натуральных n выполнено неравенство:

$\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} > \frac{1}{n}$

Так как гармонический ряд расходится, то ряд с большими членами так же расходится.

Ответ: расходится.

2. Используется интегральный признак Коши:

Cоставим несобственный интеграл:

$\int\limits^{\infty}_2 {\frac{dn}{nln^4(n)} } = -\frac{1}{3*ln^3(\infty)} + \frac{1}{3*ln^3(2)}= \frac{1}{3*ln^3(2)}\neq 0$

Ряд сходится.

Ответ: сходится.

Answer 2

1)Будем исследовать с помощью сравнения через отношение

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$

$\displaystyle b_n=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$

Это ряд Дирихле, т.к в нашем случае p=1 ряд расходится

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\sqrt{n^2}}{\sqrt{n^2+n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2+n}}=1$

Т.к предел не равен 0 и ∞, мы можем использовать данный метод

Следовательно, ряд 1 Расходится

2)

$\displaystyle\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln^4(n)}$

Данный ряд эквивалентен ряду

$\displaystyle\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n^5}$

Это также ряд Дирихле p=5, следовательно, ряд Сходится