Для нахождения интервалов монотонности (т.е. возрастания и убывания) и точек экстремума нам нужна первая производная, а для интервалов выпуклости и вогнутости и координат точек перегиба - вторая производная.
Приравниваем первую производную к нулю, решаем получившееся уравнение и тем самым находим абсциссы критических точек:
Чертим числовую ось, отмечаем на ней точки 2 и 4 и исследуем поведение производной на получившихся интервалах:
подставляем в нее значение х меньше 2 (например, 0):
Получили отрицательное значение производной на участке левее 2 (ставим там минус).
Дальше подставляем в производную х между 2 и 4 (например, 3):
Полученное значение больше нуля. Ставим над координатной прямой на участке между 2 и 4 плюс.
Проверяем участок правее 4. Подставляем в уравнение производной число больше 4 (например, 10):
Получено отрицательное значение производной. Правее 4 ставим минус.
Получается, что анализируемая функция убывает на участке (-∞; 2) - ставим стрелочку вниз; возрастает на участке (2; 4) - ставим стрелочку вверх; убывает на участке (4; +∞) - ставим снова стрелочку вниз.
Итак, точка 2 - это минимум функции, а точка 4 - ее максимум.
Можем вычислить значение функции в этих точках (точках экстремума):
Теперь начинаем аналогичную работу со второй производной: приравниваем ее к нулю, решаем уравнение, полученные значения отмечаем на новой координатной прямой - это предполагаемые точки перегиба. Если в этих точках знак второй производной меняется (с плюса на минус или наоборот - с минуса на плюс), то это действительно точки перегиба. Если вторая пр-я на участке отрицательна, то график функции на этом участке выпуклый, если положительна - то вогнутый.
Начнем:
Подставим в формулу второй производной сначала число, меньшее 3, потом - большее. Пусть это будут числа 0 и 5:
Т.е. точка 3 действительно оказалась точкой перегиба: левее нее график функции вогнутый, правее - выпуклый. Значение функции в этой точке равно
Всё. Конец.
