Question

Помогите, пожалуйста, найти интеграл

Answer 1

Этот интеграл можно вычислять по-разному. Скажем, можно выделить полный квадрат. А можно подынтегральную функцию разложить на две более простые. Применю второй способ. Он поможет проиллюстрировать возможность разложения на элементарные дроби без неопределенных коэффициентов.

Докажем, что 

$\frac{1}{a(a+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+k})$

Доказывается она, конечно, элементарно. Моя задача научить писать ее, не подглядывая в шпаргалку. Имеем:

$\frac{1}{a(a+k)}=\frac{1}{k}\frac{(a+k)-a}{a(a+k)}= \frac{1}{k}(\frac{a+k}{a(a+k)}-\frac{a}{a(a+k)})=\frac{1}{k}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+k}).$

Переходим к вычислению интеграла:

$\int\frac{dx}{x^2+3x-10}=\int\frac{dx}{(x-2)(x+5)}$.

В подынтегральной функции роль a исполняет (x-2), а роль (a+k) исполняет (x+5); тем самым k=7;

$\frac{1}{(x-2)(x+5)}=\frac{1}{7}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+5});$

поэтому получаем сумму двух интегралов

$\frac{1}{7}(\int\frac{dx}{x-2} \ -\ \int\frac{dx}{x+5})= \frac{1}{7}(\int\frac{d(x-2)}{x-2} \ -\ \int\frac{d(x+5)}{x+5})=$ 

$\frac{1}{7}(\ln|x-2|-\ln|x+5|)+C=\frac{1}{7}\ln\left|\frac{x-2}{x+5}\right|+C$