Функция
![y= \frac{x-5}{x^2-25} = \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7Bx%5E2-25%7D+%3D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B%28x-5%29%28x%2B5%29%7D+)
определена на всей числовой оси, кроме двух точек: x = -5 и x = 5.
Найдём односторонние пределы в этих точках.
1) x = -5. Т.к. в этой точке множитель (x-5) не равен нулю, то его можно сократить.
![\lim_{x \to \inft{-5_{-0}}} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} =\lim_{x \to \inft{-5_{-0}}} \frac{1}{x+5} =-\infty \\ \\ \lim_{x \to \inft{-5_{+0}}} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} =\lim_{x \to \inft{-5_{+0}}} \frac{1}{x+5} =+\infty](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B-5_%7B-0%7D%7D%7D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B%28x-5%29%28x%2B5%29%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B-5_%7B-0%7D%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B5%7D+%3D-%5Cinfty+%5C%5C++%5C%5C++%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B-5_%7B%2B0%7D%7D%7D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B%28x-5%29%28x%2B5%29%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B-5_%7B%2B0%7D%7D%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B5%7D+%3D%2B%5Cinfty)
Оба односторонних предела бесконечны, значит, функция терпит разрыв II рода в точке x = -5. Кстати, уравнение x = -5 есть уравнение вертикальной асимптоты в точке разрыва.
2) x = 5. В этой точке множитель (x + 5) равен 10.
![\lim_{x \to \inft{+5_{-0}}} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} =\lim_{x \to \inft{+5_{-0}}} \frac{1}{x+5} *\lim_{x \to \inft{+5_{-0}}} \frac{x-5}{x-5}= \\ \\ \frac{1}{10} *1=\frac{1}{10} \\ \\ \lim_{x \to \inft{+5_{+0}}} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} =\lim_{x \to \inft{+5_{+0}}} \frac{1}{x+5} *\lim_{x \to \inft{+5_{+0}}} \frac{x-5}{x-5}= \\ \\ \frac{1}{10} *1=\frac{1}{10}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B%2B5_%7B-0%7D%7D%7D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B%28x-5%29%28x%2B5%29%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B%2B5_%7B-0%7D%7D%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B5%7D+%2A%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B%2B5_%7B-0%7D%7D%7D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7Bx-5%7D%3D+%5C%5C++%5C%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D+%2A1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D++%5C%5C++%5C%5C+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B%2B5_%7B%2B0%7D%7D%7D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B%28x-5%29%28x%2B5%29%7D+%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B%2B5_%7B%2B0%7D%7D%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B5%7D+%2A%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinft%7B%2B5_%7B%2B0%7D%7D%7D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7Bx-5%7D%3D+%5C%5C++%5C%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D+%2A1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D+)
В точке x = 5 функция терпит разрыв, т.к. на ноль делить нельзя. Однако односторонние пределы конечны, следовательно, это точка разрыва I рода. При этом односторонние пределы совпадают, справа и слева значение функции бесконечно приближается к 1/10. Значит, этот разрыв устранимый.
Итак, в точке x = 5 функция терпит устранимый разрыв I рода.
Из выше изложенного можно сделать некоторые представления о графике нашей функции. Во-первых, функция слева направо бесконечно убывает, приближаясь к точке х = -5. Во-вторых, справа от точки х = - 5 функция убывает из плюс бесконечности. В точке х = 5 она терпит устранимый разрыв, продолжая дальше убывать.
Найдём горизонтальные асимптоты.
![\lim_{x \to -\infty} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}=\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x+5}= \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x(1+5/x)}= \\ \\ = \frac{1}{-\infty}(1+ \frac{5}{-\infty}} )}=\frac{1}{-\infty}(1+ 0)}=-0 \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{x-5}{(x-5)(x+5)}=\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x+5}= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x(1+5/x)}= \\ \\ = \frac{1}{+\infty}(1+ \frac{5}{+\infty}} )}=\frac{1}{+\infty}(1+ 0)}=+0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx+%5Cto+-%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B%28x-5%29%28x%2B5%29%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+-%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B5%7D%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+-%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%281%2B5%2Fx%29%7D%3D++%5C%5C++%5C%5C+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B-%5Cinfty%7D%281%2B+%5Cfrac%7B5%7D%7B-%5Cinfty%7D%7D+%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B-%5Cinfty%7D%281%2B+0%29%7D%3D-0++%5C%5C++%5C%5C+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%2B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7Bx-5%7D%7B%28x-5%29%28x%2B5%29%7D%3D%5Clim_%7Bx+%5Cto+%2B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B5%7D%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%2B%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%281%2B5%2Fx%29%7D%3D++%5C%5C++%5C%5C+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%2B%5Cinfty%7D%281%2B+%5Cfrac%7B5%7D%7B%2B%5Cinfty%7D%7D+%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%2B%5Cinfty%7D%281%2B+0%29%7D%3D%2B0)
Горизонтальная асимптота y = 0. Функция бесконечно приближается к нулю, влево, в минус бесконечность, снизу, справа, в плюс бесконечность, сверху.
* Функция непрерывна при x ∈(-∞; -5) ∪ (-5; 5) ∪ (5; +∞).
* В точке x = -5 разрыв II рода, в точке x = 5 устранимый разрыв I рода.