Для того, чтобы найти траекторию луча, обычно решают дифференциальное уравнение следующего вида
![\displaystyle \frac{d}{dl}\left(n\frac{d\mathbf{R}}{dl}\right) = \text{grad } n](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdl%7D%5Cleft%28n%5Cfrac%7Bd%5Cmathbf%7BR%7D%7D%7Bdl%7D%5Cright%29+%3D+%5Ctext%7Bgrad+%7D+n)
Это уравнение для луча в том случае, когда параметром выступает длина кривой. В нашем случае плоскослоистой среды мы перейдем к другому параметру - глубине погружения y (отсчитываемой от 0 в положительную сторону), тогда несложно сообразить, что на этапе погружения луча в среду
![\displaystyle \frac{d}{dl} = \frac{d}{dy}\frac{dy}{dl} = {\sin\theta}\frac{d}{dy}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdl%7D+%3D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdl%7D+%3D+%7B%5Csin%5Ctheta%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D)
Где θ - острый угол между касательной к лучу и поверхностью среды. Отметим также, что вектор d
R/dl по своей математической природе как раз и является касательным вектором единичной длины.
Поэтому перепишем уравнение
![\displaystyle {\sin\theta}\frac{d}{dy}\left(n(\mathbf{e}_x\cos\theta+\mathbf{e}_y\sin\theta)\right) = \mathbf{e}_y\frac{dn}{dy}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%7B%5Csin%5Ctheta%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D%5Cleft%28n%28%5Cmathbf%7Be%7D_x%5Ccos%5Ctheta%2B%5Cmathbf%7Be%7D_y%5Csin%5Ctheta%29%5Cright%29+%3D+%5Cmathbf%7Be%7D_y%5Cfrac%7Bdn%7D%7Bdy%7D)
Отсюда мы получаем важное следствие
![\displaystyle\frac{d}{dy}({n\cos\theta}) = 0\\\\ n(0)\cos\theta(0) = n(y)\cos\theta(y)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D%28%7Bn%5Ccos%5Ctheta%7D%29+%3D+0%5C%5C%5C%5C%0An%280%29%5Ccos%5Ctheta%280%29+%3D+n%28y%29%5Ccos%5Ctheta%28y%29)
-------
Отступление: если мы находимся в рамках математики попроще, то последнее равенство, или даже закон сохранения можно объяснить качественно. Суть в том, что среда совершенно однородна вдоль оси X, направленной вдоль ее поверхности, поэтому проекция импульса фотона (волнового вектора электромагнитной волны) на ось Х должна сохраняться. Эта проекция равна nω/c*cos(θ), где ω - частота волны, c-скорость света в вакууме. Сокращая на ω/c получим тот же результат: неизменность произведения n*cos(θ)
--------------
Нас интересует случай, когда θ=0 и косинус равен 1, выразим отсюда глубину погружения
![n(0)\cos\theta_0 = n(y) = n(0)\sqrt{1-y/H}\\\\ 1-y/H = \cos^2\theta_0\\\\ y = H\sin^2\theta_0 = H\cos^2\varphi_0 = 3H/4 = 15\text{ m}](https://tex.z-dn.net/?f=n%280%29%5Ccos%5Ctheta_0+%3D+n%28y%29+%3D+n%280%29%5Csqrt%7B1-y%2FH%7D%5C%5C%5C%5C%0A1-y%2FH+%3D+%5Ccos%5E2%5Ctheta_0%5C%5C%5C%5C%0Ay+%3D+H%5Csin%5E2%5Ctheta_0+%3D+H%5Ccos%5E2%5Cvarphi_0+%3D+3H%2F4+%3D+15%5Ctext%7B+m%7D)
Отметим, что из-за совпадения показателей преломления на границе раздела однородной и неоднородной сред, дополнительного преломления не будет.